Показательная функция
Показательная функция — математическая функция , где называется основанием степени, а — показателем степени.
- В вещественном случае основание степени — некоторое неотрицательное вещественное число (для отрицательных чисел возведение в вещественную нецелочисленную степень не определено), а аргументом функции является вещественный показатель степени.
- В теории комплексных функций рассматривается более общий случай, когда аргументом и показателем степени может быть произвольное комплексное число.
- В самом общем виде — , введена Лейбницем в 1695 г.
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c6/Exp.svg/220px-Exp.svg.png)
Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени вы��тупает число e. Такая функция называется экспонентой (вещественной или комплексной). При этом из-за того, что любое положительное основание может быть представлено в виде степени числа е (), понятие «экспонента» часто употребляют как синоним «показательной функции».
Вещественная функция
[править | править код]Определение показательной функции
[править | править код]Пусть — неотрицательное вещественное число, — рациональное число: . Тогда определяется, исходя из свойств степени с рациональным показателем, по следующим правилам.
- Если , то .
- Если и , то .
- Значение не определено (см. Ноль в степени ноль).
- Если и , то .
- Значение при не определено.
Для произвольного вещественного показателя значение можно определить как предел последовательности
где — последовательность рациональных чисел, сходящихся к . То есть
Свойства
[править | править код]Свойства возведения в степень:
- / =
Промежутки монотонности:
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dc/Exponenciala_priklad.png/200px-Exponenciala_priklad.png)
При показательная функция всюду возрастает, причём:
- (для всякого )
При функция, соответственно, убывает, причём:
- (для всякого )
То есть показательная функция растёт на бесконечности быстрее любой полиномиальной. Большая скорость роста может быть проиллюстрирована, например, задачей о складывании бумаги.
Обратная функция:
По аналогии с введением функции корня для степенной введём логарифмическую функцию, обратную показательной:
- (логарифм по основанию )
Число е:
Отметим уникальное свойство показательной функции, найдём (такое число , производная показательной функции которого равна самой функции):
Возможность определения легко увидеть после сокращения на :
Выбирая , окончательно получим число Эйлера:
Отметим, что функцию можно иначе представить в виде ряда: (справедливость легко установить почленным дифференцированием):
Откуда имеем более точное приближение:
Единственность числа легко показать, варьируя . Действительно, если пройдёт где-то выше, чем , то на том же промежутке найдётся область, где .
Дифференцирование:
Используя функцию натурального логарифма , можно выразить показательную функцию с произвольным положительным основанием через экспоненту. По свойству степени: , откуда по свойству экспоненты и по правилу дифференцирования сложной функции:
Неопределённый интеграл:
Потенцирование и антилогарифм
[править | править код]![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9e/Antilog_functions_on_the_calculator_Elektronika_MK-51.jpg/220px-Antilog_functions_on_the_calculator_Elektronika_MK-51.jpg)
Потенцирование (от нем. potenzieren[К 1]) — нахождение числа по известному значению его логарифма[1], то есть решение уравнения . Из определения логарифма вытекает, что , таким образом, возведение в степень может быть названо другими словами «потенцированием по основанию », или вычислением показательной функции от .
Антилогарифм[2] числа x — результат потенцирования, то есть число, логарифм которого (при заданном основании ) равен числу [2][3]:
Термин «антилогарифм» введен Валлисом в 1693 году[4]. Как самостоятельное понятие антилогарифм используется в логарифмических таблицах[5], логарифмических линейках, микрокалькуляторах. Например, для извлечения кубического корня из числа по логарифмическим таблицам следует найти логарифм числа разделить его на 3 и затем (по таблице антилогарифмов) найти антилогарифм результата.
Аналогично логарифмам, антилогарифм по основанию или 10 называется натуральным[6] или десятичным, соответственно.
Антилогарифм также называют обращённым логарифмом[3].
В инженерных калькуляторах потенцирование стандартно представлено в виде двух функций: и .
Комплексная функция
[править | править код]Для расширения экспоненты на комплексную плоскость определим её с помощью того же ряда, заменив вещественный аргумент на комплексный:
Эта функция имеет те же основные алгебраические и аналитические свойства, что и вещественная. Отделив в ряде для вещественную часть от мнимой, мы получаем знаменитую формулу Эйлера:
Отсюда вытекает, что комплексная экспонента периодична вдоль мнимой оси:
Показательная функция с произвольным комплексным основанием и показателем степени легко вычисляется с помощью комплексной экспоненты и комплексного логарифма.
Пример: ; поскольку (главное значение логарифма), окончательно получаем: .
См. также
[править | править код]- Возведение в степень
- Ограничение складывания бумаги пополам
- Степенная функция
- Экспонента
- Двойная экспоненциальная функция
Примечания
[править | править код]- ↑ Потенцирование / Математический энциклопедический словарь, М.: Советская энциклопедия, 1988, стр. 479.
- ↑ 1 2 Антилогарифм / Математический энциклопедический словарь, М.: Советская энциклопедия, 1988, стр. 73.
- ↑ 1 2 Антилогарифм / Виноградов, Математическая энциклопедия, том 1.
- ↑ Математика XVII столетия // История математики, в трёх томах / Под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970. — Т. II. — С. 56.
- ↑ Логарифмические таблицы / Математический энциклопедический словарь, М.: Советская энциклопедия, 1988, стр. 330.
- ↑ Финансовые инструменты - Коллектив авторов - Google Книги . Дата обращения: 8 июля 2021. Архивировано 9 июля 2021 года.
Комментарии
[править | править код]- ↑ Термин впервые встречается у швейцарского математика Иоганна Рана (1659 год).
Литература
[править | править код]- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, тома I, II. — М.: Физматлит, 2001. — ISBN 5-9221-0156-0,. — ISBN 5-9221-0155-2.
- Антилогарифм // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.