Теорема о свёртке гласит, что при подходящих условиях преобразование Фурье свёртки двух функций (или сигналов ) является поточечным произведением их преобразований Фурье. В более общем случае свёртка в одной области (например, во временной ) равна точечному умножению в другой области (например, в частотной ). Другие версии теоремы о свёртке применимы к различным преобразованиям Фурье.
Рассмотрим две функции
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
и
v
(
x
)
{\displaystyle v(x)}
с соответствующими преобразованиями Фурье
U
{\displaystyle U}
и
V
{\displaystyle V}
:
U
(
f
)
≜
F
{
u
}
(
f
)
=
∫
−
∞
∞
u
(
x
)
e
−
i
2
π
f
x
d
x
,
f
∈
R
V
(
f
)
≜
F
{
v
}
(
f
)
=
∫
−
∞
∞
v
(
x
)
e
−
i
2
π
f
x
d
x
,
f
∈
R
,
{\displaystyle {\begin{aligned}U(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{u\}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }u(x)e^{-i2\pi fx}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} \\V(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{v\}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }v(x)e^{-i2\pi fx}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} ,\end{aligned}}}
где
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
обозначает оператор преобразования Фурье . Преобразование может быть нормализовано и другим способом, при котором постоянные коэффициенты масштаба (обычно
2
π
{\displaystyle 2\pi }
или
2
π
{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}
) будут фигурировать в теореме о свёртке ниже. Свёртка
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
и
v
(
x
)
{\displaystyle v(x)}
определяется как:
r
(
x
)
=
{
u
∗
v
}
(
x
)
≜
∫
−
∞
∞
u
(
τ
)
v
(
x
−
τ
)
d
τ
=
∫
−
∞
∞
u
(
x
−
τ
)
v
(
τ
)
d
τ
.
{\displaystyle r(x)=\{u*v\}(x)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }u(\tau )v(x-\tau )\,d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }u(x-\tau )v(\tau )\,d\tau .}
В данном контексте звёздочка обозначает свёртку, а не обычное умножение. Вместо этого иногда используется символ тензорного произведения
⊗
{\displaystyle \otimes }
.
Теорема о свёртке утверждает, что[1] [2] :ур.8 :
R
(
f
)
≜
F
{
r
}
(
f
)
=
U
(
f
)
V
(
f
)
.
f
∈
R
{\displaystyle R(f)\triangleq {\mathcal {F}}\{r\}(f)=U(f)V(f).\quad f\in \mathbb {R} }
(Ур. 1a)
Применение обратного преобразования Фурье
F
−
1
,
{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1},}
даёт следствие[2] :ур.7,10 :
Теорема о свёртке
r
(
x
)
=
{
u
∗
v
}
(
x
)
=
F
−
1
{
U
⋅
V
}
,
{\displaystyle r(x)=\{u*v\}(x)={\mathcal {F}}^{-1}\{U\cdot V\},\quad }
где
⋅
{\displaystyle \displaystyle \cdot }
обозначает поточечное произведение
(Ур. 1b)
Теорема также в общем случае применима к функциям нескольких переменных.
Вывод ур. 1 для функций нескольких переменных
Рассмотрим функции
u
,
v
{\displaystyle u,v}
в Lp -пространстве
L
1
(
R
n
)
,
{\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),}
и преобразования Фурье
U
,
V
{\displaystyle U,V}
:
U
(
f
)
≜
F
{
u
}
(
f
)
=
∫
R
n
u
(
x
)
e
−
i
2
π
f
⋅
x
d
x
,
f
∈
R
n
V
(
f
)
≜
F
{
v
}
(
f
)
=
∫
R
n
v
(
x
)
e
−
i
2
π
f
⋅
x
d
x
,
{\displaystyle {\begin{aligned}U(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{u\}(f)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}u(x)e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} ^{n}\\V(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{v\}(f)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}v(x)e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx,\end{aligned}}}
где
f
⋅
x
{\displaystyle f\cdot x}
обозначает скалярное произведение в
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
:
f
⋅
x
=
∑
j
=
1
n
f
j
x
j
{\displaystyle f\cdot x=\sum _{j=1}^{n}{f}_{j}x_{j}}
и
d
x
=
∏
j
=
1
n
d
x
j
.
{\displaystyle dx=\prod _{j=1}^{n}dx_{j}.}
Свёртка
u
{\displaystyle u}
и
v
{\displaystyle v}
определяется как:
r
(
x
)
≜
∫
R
n
u
(
τ
)
v
(
x
−
τ
)
d
τ
.
{\displaystyle r(x)\triangleq \int _{\mathbb {R} ^{n}}u(\tau )v(x-\tau )\,d\tau .}
Также:
∬
|
u
(
τ
)
v
(
x
−
τ
)
|
d
x
d
τ
=
∫
(
|
u
(
τ
)
|
∫
|
v
(
x
−
τ
)
|
d
x
)
d
τ
=
∫
|
u
(
τ
)
|
‖
v
‖
1
d
τ
=
‖
u
‖
1
‖
v
‖
1
.
{\displaystyle \iint |u(\tau )v(x-\tau )|\,dx\,d\tau =\int \left(|u(\tau )|\int |v(x-\tau )|\,dx\right)\,d\tau =\int |u(\tau )|\,\|v\|_{1}\,d\tau =\|u\|_{1}\|v\|_{1}.}
Отсюда по теореме Фубини следует, что
r
∈
L
1
(
R
n
)
{\displaystyle r\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}
. Поэтому его преобразование Фурье
R
{\displaystyle R}
определяется интегральной формулой:
R
(
f
)
≜
F
{
r
}
(
f
)
=
∫
R
n
r
(
x
)
e
−
i
2
π
f
⋅
x
d
x
=
∫
R
n
(
∫
R
n
u
(
τ
)
v
(
x
−
τ
)
d
τ
)
e
−
i
2
π
f
⋅
x
d
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}R(f)\triangleq {\mathcal {F}}\{r\}(f)&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}r(x)e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}u(\tau )v(x-\tau )\,d\tau \right)\,e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx.\end{aligned}}}
Отметим, что, отсюда по приведённому выше аргументу можно снова применить теорему Фубини (то есть поменять порядок интегрирования):
R
(
f
)
=
∫
R
n
u
(
τ
)
(
∫
R
n
v
(
x
−
τ
)
e
−
i
2
π
f
⋅
x
d
x
)
⏟
V
(
f
)
e
−
i
2
π
f
⋅
τ
d
τ
=
(
∫
R
n
u
(
τ
)
e
−
i
2
π
f
⋅
τ
d
τ
)
⏟
U
(
f
)
V
(
f
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}R(f)&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}u(\tau )\underbrace {\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}v(x-\tau )\ e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx\right)} _{V(f)\ e^{-i2\pi f\cdot \tau }}\,d\tau \\&=\underbrace {\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}u(\tau )\ e^{-i2\pi f\cdot \tau }\,d\tau \right)} _{U(f)}\ V(f).\end{aligned}}}
Эта теорема также справедлива для преобразования Лапласа , двустороннего преобразования Лапласа и, при соответствующей модификации, для преобразования Меллина и преобразования Хартли (см. теорему об инверсии Меллина [англ.] ). Она может быть распространена на преобразование Фурье абстрактного гармонического анализа, определённого над локально компактными абелевыми группами.
Рассмотрим
P
{\displaystyle P}
-периодическую функцию
u
P
{\displaystyle u_{_{P}}}
и
v
P
{\displaystyle v_{_{P}}}
, которые могут быть выражены как периодические суммы:
u
P
(
x
)
≜
∑
m
=
−
∞
∞
u
(
x
−
m
P
)
{\displaystyle u_{_{P}}(x)\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }u(x-mP)}
и
v
P
(
x
)
≜
∑
m
=
−
∞
∞
v
(
x
−
m
P
)
.
{\displaystyle v_{_{P}}(x)\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }v(x-mP).}
На практике ненулевая часть компонентов
u
{\displaystyle u}
и
v
{\displaystyle v}
часто ограничивается продолжительностью
P
{\displaystyle P}
, но ничто в теореме этого не требует.
Коэффициенты ряда Фурье :
U
[
k
]
≜
F
{
u
P
}
[
k
]
=
1
P
∫
P
u
P
(
x
)
e
−
i
2
π
k
x
/
P
d
x
,
k
∈
Z
;
интегрирование по любому интервалу длины
P
V
[
k
]
≜
F
{
v
P
}
[
k
]
=
1
P
∫
P
v
P
(
x
)
e
−
i
2
π
k
x
/
P
d
x
,
k
∈
Z
{\displaystyle {\begin{aligned}U[k]&\triangleq {\mathcal {F}}\{u_{_{P}}\}[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}u_{_{P}}(x)e^{-i2\pi kx/P}\,dx,\quad k\in \mathbb {Z} ;\quad \quad \scriptstyle {\text{интегрирование по любому интервалу длины }}P\\V[k]&\triangleq {\mathcal {F}}\{v_{_{P}}\}[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}v_{_{P}}(x)e^{-i2\pi kx/P}\,dx,\quad k\in \mathbb {Z} \end{aligned}}}
где
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
обозначает интеграл ряда Фурье .
Поточечное произведение
u
P
(
x
)
⋅
v
P
(
x
)
{\displaystyle u_{_{P}}(x)\cdot v_{_{P}}(x)}
также
P
{\displaystyle P}
-периодично, и его коэффициенты ряда Фурье задаются дискретной свёрткой
U
{\displaystyle U}
и
V
{\displaystyle V}
:
Свёртка:
{
u
P
∗
v
}
(
x
)
≜
∫
−
∞
∞
u
P
(
x
−
τ
)
⋅
v
(
τ
)
d
τ
≡
∫
P
u
P
(
x
−
τ
)
⋅
v
P
(
τ
)
d
τ
;
интегрирование по любому интервалу длины
P
{\displaystyle {\begin{aligned}\{u_{_{P}}*v\}(x)\ &\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }u_{_{P}}(x-\tau )\cdot v(\tau )\ d\tau \\&\equiv \int _{P}u_{_{P}}(x-\tau )\cdot v_{_{P}}(\tau )\ d\tau ;\quad \quad \scriptstyle {\text{интегрирование по любому интервалу длины }}P\end{aligned}}}
также Р-периодична и называется периодической свёрткой .
Вывод периодической свёртки
∫
−
∞
∞
u
P
(
x
−
τ
)
⋅
v
(
τ
)
d
τ
=
∑
k
=
−
∞
∞
[
∫
x
o
+
k
P
x
o
+
(
k
+
1
)
P
u
P
(
x
−
τ
)
⋅
v
(
τ
)
d
τ
]
x
0
— произвольный параметр
=
∑
k
=
−
∞
∞
[
∫
x
o
x
o
+
P
u
P
(
x
−
τ
−
k
P
)
⏟
u
P
(
x
−
τ
)
,
по периодичности
⋅
v
(
τ
+
k
P
)
d
τ
]
замена
τ
→
τ
+
k
P
=
∫
x
o
x
o
+
P
u
P
(
x
−
τ
)
⋅
[
∑
k
=
−
∞
∞
v
(
τ
+
k
P
)
]
⏟
≜
v
P
(
τ
)
d
τ
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }u_{_{P}}(x-\tau )\cdot v(\tau )\,d\tau &=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\int _{x_{o}+kP}^{x_{o}+(k+1)P}u_{_{P}}(x-\tau )\cdot v(\tau )\ d\tau \right]\quad x_{0}{\text{ — произвольный параметр}}\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\int _{x_{o}}^{x_{o}+P}\underbrace {u_{_{P}}(x-\tau -kP)} _{u_{_{P}}(x-\tau ),{\text{ по периодичности}}}\cdot v(\tau +kP)\ d\tau \right]\quad {\text{замена }}\tau \rightarrow \tau +kP\\&=\int _{x_{o}}^{x_{o}+P}u_{_{P}}(x-\tau )\cdot \underbrace {\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }v(\tau +kP)\right]} _{\triangleq \ v_{_{P}}(\tau )}\ d\tau \end{aligned}}}
Соответствующая теорема свёртки имеет вид:
F
{
u
P
∗
v
}
[
k
]
=
P
⋅
U
[
k
]
V
[
k
]
.
{\displaystyle {\mathcal {F}}\{u_{_{P}}*v\}[k]=\ P\cdot U[k]\ V[k].}
(Ур. 2)
F
{
u
P
∗
v
}
[
k
]
≜
1
P
∫
P
(
∫
P
u
P
(
τ
)
⋅
v
P
(
x
−
τ
)
d
τ
)
e
−
i
2
π
k
x
/
P
d
x
=
∫
P
u
P
(
τ
)
(
1
P
∫
P
v
P
(
x
−
τ
)
e
−
i
2
π
k
x
/
P
d
x
)
d
τ
=
∫
P
u
P
(
τ
)
e
−
i
2
π
k
τ
/
P
(
1
P
∫
P
v
P
(
x
−
τ
)
e
−
i
2
π
k
(
x
−
τ
)
/
P
d
x
)
⏟
V
[
k
]
,
по периодичности
d
τ
=
(
∫
P
u
P
(
τ
)
e
−
i
2
π
k
τ
/
P
d
τ
)
⏟
P
⋅
U
[
k
]
V
[
k
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{u_{_{P}}*v\}[k]&\triangleq {\frac {1}{P}}\int _{P}\left(\int _{P}u_{_{P}}(\tau )\cdot v_{_{P}}(x-\tau )\ d\tau \right)e^{-i2\pi kx/P}\,dx\\&=\int _{P}u_{_{P}}(\tau )\left({\frac {1}{P}}\int _{P}v_{_{P}}(x-\tau )\ e^{-i2\pi kx/P}dx\right)\,d\tau \\&=\int _{P}u_{_{P}}(\tau )\ e^{-i2\pi k\tau /P}\underbrace {\left({\frac {1}{P}}\int _{P}v_{_{P}}(x-\tau )\ e^{-i2\pi k(x-\tau )/P}dx\right)} _{V[k],{\text{ по периодичности}}}\,d\tau \\&=\underbrace {\left(\int _{P}\ u_{_{P}}(\tau )\ e^{-i2\pi k\tau /P}d\tau \right)} _{P\cdot U[k]}\ V[k].\end{aligned}}}
Аналогично ур. 1 выводится теорема для случая последовательностей, например, выборок двух непрерывных функций, где теперь F обозначает оператор дискретно-временного преобразования Фурье (ДВПФ) [англ.] . Рассмотрим две последовательности
u
[
n
]
{\displaystyle u[n]}
и
v
[
n
]
{\displaystyle v[n]}
с преобразованиями
U
{\displaystyle U}
и
V
{\displaystyle V}
:
U
(
f
)
≜
F
{
u
}
(
f
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
u
[
n
]
⋅
e
−
i
2
π
f
n
,
f
∈
R
,
V
(
f
)
≜
F
{
v
}
(
f
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
v
[
n
]
⋅
e
−
i
2
π
f
n
,
f
∈
R
.
{\displaystyle {\begin{aligned}U(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{u\}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }u[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\;,\quad f\in \mathbb {R} ,\\V(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{v\}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }v[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\;,\quad f\in \mathbb {R} .\end{aligned}}}
Дискретная свёртка
u
{\displaystyle u}
и
v
{\displaystyle v}
определяется:
r
[
n
]
≜
(
u
∗
v
)
[
n
]
=
∑
m
=
−
∞
∞
u
[
m
]
⋅
v
[
n
−
m
]
=
∑
m
=
−
∞
∞
u
[
n
−
m
]
⋅
v
[
m
]
.
{\displaystyle r[n]\triangleq (u*v)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }u[m]\cdot v[n-m]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }u[n-m]\cdot v[m].}
Теорема о свёртке для дискретных последовательностей имеет вид[3] [4] :с.60 (2.169) :
R
(
f
)
=
F
{
u
∗
v
}
(
f
)
=
U
(
f
)
V
(
f
)
.
{\displaystyle R(f)={\mathcal {F}}\{u*v\}(f)=\ U(f)V(f).}
(Ур. 3)
U
(
f
)
{\displaystyle U(f)}
и
V
(
f
)
{\displaystyle V(f)}
, как определено выше, являются периодическими с периодом 1. Рассмотрим
N
{\displaystyle N}
-периодические последовательности
u
N
{\displaystyle u_{_{N}}}
и
v
N
{\displaystyle v_{_{N}}}
:
u
N
[
n
]
≜
∑
m
=
−
∞
∞
u
[
n
−
m
N
]
{\displaystyle u_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }u[n-mN]}
и
v
N
[
n
]
≜
∑
m
=
−
∞
∞
v
[
n
−
m
N
]
,
n
∈
Z
.
{\displaystyle v_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }v[n-mN],\quad n\in \mathbb {Z} .}
Эти функции возникают в результате выборки
U
{\displaystyle U}
и
V
{\displaystyle V}
с интервалом в
1
/
N
{\displaystyle 1/N}
и обратного дискретного преобразования Фурье (ДПФ) на N выборках. Дискретная свёртка имеет вид:
{
u
N
∗
v
}
[
n
]
≜
∑
m
=
−
∞
∞
u
N
[
m
]
⋅
v
[
n
−
m
]
≡
∑
m
=
0
N
−
1
u
N
[
m
]
⋅
v
N
[
n
−
m
]
,
{\displaystyle \{u_{_{N}}*v\}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }u_{_{N}}[m]\cdot v[n-m]\equiv \sum _{m=0}^{N-1}u_{_{N}}[m]\cdot v_{_{N}}[n-m],}
она также является
N
{\displaystyle N}
-периодической и называется периодической свёрткой . Переопределим оператор
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
как N-значное ДПФ, тогда соответствующая теорема имеет вид[5] [4] :с. 548 :
F
{
u
N
∗
v
}
[
k
]
=
F
{
u
N
}
[
k
]
⏟
U
(
k
/
N
)
⋅
F
{
v
N
}
[
k
]
⏟
V
(
k
/
N
)
,
k
∈
Z
.
{\displaystyle {\mathcal {F}}\{u_{_{N}}*v\}[k]=\ \underbrace {{\mathcal {F}}\{u_{_{N}}\}[k]} _{U(k/N)}\cdot \underbrace {{\mathcal {F}}\{v_{_{N}}\}[k]} _{V(k/N)},\quad k\in \mathbb {Z} .}
(Ур. 4a)
И следовательно:
{
u
N
∗
v
}
[
n
]
=
F
−
1
{
F
{
u
N
}
⋅
F
{
v
N
}
}
.
{\displaystyle \{u_{_{N}}*v\}[n]=\ {\mathcal {F}}^{-1}\{{\mathcal {F}}\{u_{_{N}}\}\cdot {\mathcal {F}}\{v_{_{N}}\}\}.}
(Ур. 4b)
При соответствующих условиях возможно, что
N
{\displaystyle N}
-значная последовательность содержит не содержащий искажений сегмент свёртки
u
∗
v
{\displaystyle u*v}
. Но когда ненулевая часть
u
(
n
)
{\displaystyle u(n)}
или
v
(
n
)
{\displaystyle v(n)}
последовательности равна или длиннее, чем
N
{\displaystyle N}
, неизбежны некоторые искажения. Так происходит, когда последовательность 𝑉(𝑘/𝑁) получается путём прямой дискретизации DTFT бесконечно длинного импульсного отклика § Дискретного преобразования Гильберта[A] .
Для последовательностей
u
{\displaystyle u}
и
v
{\displaystyle v}
, ненулевая длина которых меньше или равна
N
{\displaystyle N}
, окончательное упрощение имеет вид:
Периодическая свёртка
{
u
N
∗
v
}
[
n
]
=
F
−
1
{
F
{
u
}
⋅
F
{
v
}
}
.
{\displaystyle \{u_{_{N}}*v\}[n]=\ {\mathcal {F}}^{-1}\{{\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\}.}
(Ур. 4c)
Эта форма часто используется для эффективной реализации численной свёртки на компьютере. В качестве частичной взаимности было показано[6] , что любое линейное
преобразование, превращающее свёртку в точечное произведение, является ДПФ (вплоть до перестановки коэффициентов).
Существует также теорема свёртки для обратного преобразования Фурье. Здесь «
⋅
{\displaystyle \cdot }
» представляет собой произведение Адамара , а «
∗
{\displaystyle *}
» представляет свёртку двух матриц.
F
{
u
∗
v
}
=
F
{
u
}
⋅
F
{
v
}
F
{
u
⋅
v
}
=
F
{
u
}
∗
F
{
v
}
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {F}}\{u*v\}={\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\\&{\mathcal {F}}\{u\cdot v\}={\mathcal {F}}\{u\}*{\mathcal {F}}\{v\}\end{aligned}}}
так что
u
∗
v
=
F
−
1
{
F
{
u
}
⋅
F
{
v
}
}
u
⋅
v
=
F
−
1
{
F
{
u
}
∗
F
{
v
}
}
{\displaystyle {\begin{aligned}&u*v={\mathcal {F}}^{-1}\left\{{\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\right\}\\&u\cdot v={\mathcal {F}}^{-1}\left\{{\mathcal {F}}\{u\}*{\mathcal {F}}\{v\}\right\}\end{aligned}}}
Теорема о свёртке распространяется на обобщённые функции умеренного роста. Здесь v — произвольная обобщённая функция умеренного роста:
F
{
u
∗
v
}
=
F
{
u
}
⋅
F
{
v
}
F
{
α
⋅
v
}
=
F
{
α
}
∗
F
{
v
}
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {F}}\{u*v\}={\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\\&{\mathcal {F}}\{\alpha \cdot v\}={\mathcal {F}}\{\alpha \}*{\mathcal {F}}\{v\}.\end{aligned}}}
Но
u
=
F
{
α
}
{\displaystyle u=F\{\alpha \}}
должно «быстро убывать» по направлению к
−
∞
{\displaystyle -\infty }
и
+
∞
{\displaystyle +\infty }
, чтобы гарантировать существование как свёртки, так и её произведения. Эквивалентно, если
α
=
F
−
1
{
u
}
{\displaystyle \alpha =F^{-1}\{u\}}
— гладкая «медленно растущая» обыкновенная функция, то она гарантирует
существование как умножения, так и произведения свёрток[7] [8] [9] .
В частности, каждое компактно поддерживаемая обобщённая функция умеренного роста, например, дельта-функция , является «быстро убывающей». Эквивалентно, полосовые
функции, такие как функция, которая постоянно равна
1
{\displaystyle 1}
, являются гладкими «медленно растущими» обычными функциями. Если, например,
v
≡
Ш
{\displaystyle v\equiv \operatorname {\text{Ш}} }
является гребнем Дирака , то оба уравнения дают формулу суммирования Пуассона [англ.] , и если, кроме того,
α
≡
1
{\displaystyle \alpha \equiv 1}
является дельта-функцией, то
α
≡
1
{\displaystyle \alpha \equiv 1}
постоянно равно единице, и эти уравнения дают тождество гребня Дирака.
↑
McGillem, Clare D. Continuous and Discrete Signal and System Analysis / Clare D. McGillem, George R. Cooper. — 2. — Holt, Rinehart and Winston, 1984. — P. 118 (3–102). — ISBN 0-03-061703-0 .
↑ 1 2
Weisstein, Eric W. Convolution Theorem (англ.) . From MathWorld--A Wolfram Web Resource . Дата обращения: 13 апреля 2024.
↑
Proakis, John G.; Manolakis, Dimitri G. (1996), Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications (англ.) (3 ed.), New Jersey: Prentice-Hall International, p. 297, Bibcode :1996dspp.book.....P , ISBN 9780133942897 , sAcfAQAAIAAJ
↑ 1 2
Oppenheim, Alan V. Discrete-time signal processing / Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer, John R. Buck. — 2nd. — Upper Saddle River, N.J. : Prentice Hall, 1999. — ISBN 0-13-754920-2 .
↑
Rabiner, Lawrence R. Theory and application of digital signal processing / Lawrence R. Rabiner, Bernard Gold. — Englewood Cliffs, NJ : Prentice-Hall, Inc., 1975. — P. 59 (2.163). — ISBN 978-0139141010 .
↑ Amiot, Emmanuel. Music through Fourier Space . — Zürich : Springer, 2016. — P. 8. — ISBN 978-3-319-45581-5 . — doi :10.1007/978-3-319-45581-5 .
↑ Horváth, John. Topological Vector Spaces and Distributions. — Reading, MA : Addison-Wesley Publishing Company, 1966.
↑ Barros-Neto, José. An Introduction to the Theory of Distributions. — New York, NY : Dekker, 1973.
↑ Petersen, Bent E. Introduction to the Fourier Transform and Pseudo-Differential Operators. — Boston, MA : Pitman Publishing, 1983.
Katznelson, Yitzhak (1976), An introduction to Harmonic Analysis , Dover, ISBN 0-486-63331-4
Li, Bing; Babu, G. Jogesh (2019), "Convolution Theorem and Asymptotic Efficiency", A Graduate Course on Statistical Inference , New York: Springer, pp. 295—327, ISBN 978-1-4939-9759-6
Crutchfield, Steve (October 9, 2010), "The Joy of Convolution" , Johns Hopkins University , Дата обращения: 19 ноября 2010