U kalkulusu, i generalno, u matematičkoj analizi, parcijalna integracija je pravilo koji transformiše integrale proizvoda funkcija je druge, vjerovatno jednostavnije integrale. Do ovog pravila dolazimo preko diferencijacije pravila derivacije proizvoda.
Pretpostavimo da su f(x) i g(x) dvije više puta diferencijabilne funkcije. Tada pravilo parcijalne integracije kaže da kada imamo intervale sa krajnjim tačkama a i b, dobijamo
gdje koristimo standardne oznake
![{\displaystyle \left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}=f(b)g(b)-f(a)g(a).}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/254c72061ba797f0b611f1b4342e1ed2d2083282)
Pravilo se dokazuje pravilom derivacije proizvoda i fundamentalnom teoremom kalkulusa. Zbog toga je
|
|
|
|
U tradicionalnom kalkulusu, ovo pravilo se koristi kod neodređenog integrala u formi
![{\displaystyle \int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx,}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ba3c7f6b2fe9f14f1be0a129d8c2aa7173755bb)
ili u kraćoj formi, ako napišemo u = f(x), v = g(x) i diferencijali du = f′(x) dx i dv = g′(x) dx. Tada je u formi u kojoj je najčešće susrećemo:
![{\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7543879c4840a6b9d2a9ae0846cd7b30360d59b8)
Kako bi izračunali
![{\displaystyle \int x\cos(x)\,dx}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bc12794994fa8b7b76dc80187db55dd3d143fb4)
napišemo:
- u = x, tako da je du = dx,
- dv = cos(x) dx, tako da je v = sin(x).
Zatim:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int x\cos(x)\,dx&=\int u\,dv\\&=uv-\int v\,du\\&=x\sin(x)-\int \sin(x)\,dx\\&=x\sin(x)+\cos(x)+C\end{aligned}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/812dd0f05482b943341b16c7d07762b8ed516e0d)
gdje je C arbitražna konstanta integracije.
Ako iznova koristimo parcijalnu integraciju, integrali kao što su
![{\displaystyle \int x^{3}\sin(x)\,dx\quad {\mbox{and}}\quad \int x^{2}e^{x}\,dx}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cea61e4a9dba29f9b409f679608f3d82436bf7e9)
mogu se izračunati veoma lagano: ponavljanje ovog postupka smanjuje potenciju x za jedan.
Interesantan primjer je sljedeći:
![{\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\,dx}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/febad9da35efb0ae3ad0a58e6b4c3cb128766a16)
gdje se, na kraju, ne mora primjenjivati stvarna integracija.
Kod ovog primjere, parcijalna integracija se primjeni dva puta. Kao prvo, napišimo:
- u = cos(x); thus du = -sin(x)dx
- dv = exdx; thus v = ex
Zatim:
![{\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}\cos(x)+\int e^{x}\sin(x)\,dx}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca69926dbe98692795b5f8a21dff40068791779c)
Sada, kako bi izračunali integral koji nam je ostao, ponovo koristimo parcijalnu integracijuz, sa:
- u = sin(x); du = cos(x)dx
- v = ex; dv = exdx
Zatim:
|
|
Sklopivši sve to zajedno, dobijamo
![{\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}\cos(x)+e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\,dx}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f8b8cdc2592224bc35d4bde0ad5626c7490b6b3)
Primijetimo da se isti integral pojavljuje na obje strane jednačine. Prebacimo sve na jednu stranu i dobijamo:
![{\displaystyle 2\int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}(\sin(x)+\cos(x))}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff868f5aad666723a9c8995e53b1f8d81f3c26c1)
![{\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\,dx={e^{x}(\sin(x)+\cos(x)) \over 2}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a605c94229080489d179f7d3fb279e9c22feb200)
Još dva dobro poznata primjera primjene parcijalne integracije je kada je funkcija izražena kao proizvod 1 i same sebe.
Prvi primjer je ∫ ln(x) dx. Ovo pišemo kao:
![{\displaystyle \int \ln(x)\cdot 1\,dx}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dd80d93d985087e94f66bc1eadd85fa26348a91)
Napišimo:
- u = ln(x); du = 1/x dx
- v = x; dv = 1·dx
Zatim:
|
|
|
|
![{\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-{x}+{C}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05f5d712d95ef1d89a780ccca0841d460c7e45a3)
![{\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x(\ln(x)-1)+C}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d67e1c66d7ddc4ee27664374da3e922b58b462e)
gdje je, ponovo, C arbitražna konstanta integracije
Drugi primjer je ∫ arctan(x) dx, gdje je arctan(x) inverzna tangensna funkcija. Ovo ponov napišemo kao:
![{\displaystyle \int \arctan(x)\cdot 1\,dx}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8d73f86cbde0c5487c6c07964ecd045de05ca1d)
Napišimo:
- u = arctan(x); du = 1/(1+x2) dx
- v = x; dv = 1·dx
Zatim:
|
|
|
|
koristeći kombinaciju pravilo inverzne derivacije složene funkcije i uslov integriranja prirodnog logaritma.