Gödelova veta o neúplnosti
Gödelova veta o neúplnosti je matematická veta.
V roku 1931 Kurt Gödel dokázal tzv. vetu o neúplnosti, ktorá odhalila hranice Hilbertovho programu.
Je to jedna z najvýznamnejších viet základného matematického výskumu. Z filozofického hľadiska je to rozhodujúca veta o podstate matematiky.
Formulácia
[upraviť | upraviť zdroj]Vetu o neúplnosti možno formulovať takto:
- V každom bezospornom formálnom systéme, ktorý obsahuje aspoň aritmetiku prirodzených čísiel (a tým aj svoju metamatematiku), existujú výrazy (formalizované výroky), ktoré sa – a ani ich negácie – nedajú odvodiť v rámci výrokového počtu.
- Každý výrokový počet vyššieho ako prvého rádu je v uvedenom zmysle neúplný, nie všetky dôsledky výrokového počtu možno odvodiť z ľubovoľne zvolených axióm pomocou konečného počtu krokov (algoritmus).
To by mohlo svedčiť o nekonečnosti významových útvarov.
Preto nemožno matematiku ani ako celok, ani v jej podstatných častiach chápať ako uzavretý kalkul. Predovšetkým to znamená, že nemožno súčasne potvrdiť úplnosť a bezospornosť výrazovo dostatočne bohatej matematickej oblasti.
V uvedenom zmysle je buď bezosporná a potom neúplná, alebo úplná a potom protirečivá. Keďže sa nemožno zrieknuť bezospornosti, treba sa zrieknuť úplnosti.
To znamená, že vo výrazovo dostatočne bohatej matematickej oblasti síce možno v dostatočne obsiahlom logickom jazyku vety formulovať, ale ich nemožno odvodiť.
Gödelova veta navždy odstránila predstavu o matematike (alebo aj jej častiach) ako úplnej, navždy uzavretej vede.
Literatúra
[upraviť | upraviť zdroj]- Smullyan, Raymond (2003) (po česky), Navěky nerozhodnuto : úvod do logiky a zábavný průvodce ke Gödelovým objevům (1 vyd.), Praha: Academia, ISBN 80-200-1068-8
Externé odkazy
[upraviť | upraviť zdroj]- FILIT Zdroj z ktorého (pôvodne) čerpal tento článok