z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Teória miery je oblasť matematiky, ktorá sa zaoberá z najvšeobecnejších hľadísk exaktným uchopením pojmu kvantity.
Základným pojmom teórie je miera, ktorá zovšeobecňuje pojmy, ako dĺžka, plocha, či
objem. Teória miery je úzko spätá s teóriou integrálu (preto sa často vyskytuje aj označenie Teória miery a integrálu) a tiež s teóriou pravdepodobnosti.
Miera je základným pojmom teórie miery. Z neformálneho pohľadu je miera zovšeobecnením pojmov dĺžka, obsah, objem] alebo počet (množstvo).
Majme merateľný priestor
. Množinovú funkciu
nazveme miera, ak spĺňa tieto podmienky:
- Miera prázdnej množiny je nulová:
.
- Miera je vždy nezáporná:
![{\displaystyle \forall A:\mu (A)\geq 0}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c824159471af48f90b17bdb24e6dc6786b64738)
- σ-aditivita: Pre ľubovoľnú spočítateľnú postupnosť po dvoch disjunktných množinách
platí ![{\displaystyle \mu (\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i}).}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e61a7052ade830927aff7ed251bbe4a7ccb53ca4)
Trojicu
potom nazývame priestor s mierou.
![{\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow \mu (A)\leq \mu (B)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f8a3ae529a4d56b37b960eefbe79985178ac9be)
- Pre postupnosť množín
platí: ![{\displaystyle \mu (\bigcup _{1}^{\infty }A_{i})\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddd9916ece04bff0b1290b549539fe60ff25dc14)
- Pre postupnosť podmnožín
platí: ![{\displaystyle \mu (\bigcup _{1}^{\infty }A_{i})=\lim _{i\rightarrow \infty }\mu (A_{i})}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d9bc8709910b7bc6013b16daab35f512790072d)
- Naopak pre postupnosť nadmnožín:
pokiaľ
potom platí: ![{\displaystyle \mu (\bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i})=\lim _{i\rightarrow \infty }\mu (A_{i})}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30e772433b093e214339ae43f691e687ab03740b)
- Diracova miera
: Nech X je neprázdna množina a a jej prvok. Diracova miera
je definovaná na σ-algebre P(X) všetkých podmnožín množiny X predpisom: