Trilinearni koordinatni sistem
Trilinearni koordinatni sistem opisuje lege točk glede na dani trikotnik. Trilinearne koordinate opisujejo relativne razdalje od treh stranic trikotnika. Trilinearne koordinate spadajo med homogene koordinate. Običajno govorimo o trilinearnih koordinatah. Trilinearne koordinate so povezane s težiščnim koordinatnim sistemom.
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/Trilinear_coordinates.svg/300px-Trilinear_coordinates.svg.png)
Zgledi
[uredi | uredi kodo]Središče včrtanega kroga trikotnika ima trilinearne koordinate, ki jih označujemo kot 1 : 1 : 1. To so usmerjene razdalje od središča včrtanega kroga do posameznih stranic trikotnika. Te razdalje so proporcionalne pravim razdaljam. Označevanje x : y : z moramo ločiti od pravih razdalj, ki so enake (kx, ky, kz) in jih uporabljamo za označevanje urejene trojice . Pri tem je
kjer je
- dolžina stranice BC
- dolžina stranice CA
- dolžina stranice BC
- dolžina stranice AB
- površina trikotnika ABC
Trilinearne koordinate nekaterih točk v trikotniku:
- A = 1 : 0 : 0 (oglišče A)
- B = 0 : 1 : 0 (oglišče B)
- C = 0 : 0 : 1 (oglišče C)
- središče včrtane krožnice = 1 : 1 : 1
- težišče = bc : ca : ab = 1/a : 1/b : 17c
- središče očrtane krožnice = cos A : cos B : cos C
- višinska točka (ortocenter) = sec A : sec B : sec C
- Eulerjev krog (Feuerbacherjev krog ali krožnica devetih točk) = cos(B − C) : cos(C − A) : cos(A − B).
- simediana (Lemionova ali Grebejeva točka) = a : b : c = sin A : sin B : sin C
Trilinearne koordinate so lahko tudi negativne, v tem primeru leži točka zunaj trikotnika.
Zgledi z negativnimi trilinearnimi koordinatami
- središče tangentne krožnice nad stranico ima trilinearne koordinate enake -1 : 1 :1
- središče tangentne krožnice nad stranico 1 : -1 :1
- središče tangentne krožnice nad stranico 1 : 1 : -1
Uporaba
[uredi | uredi kodo]Trilinearne koordinate omogočajo uporabo mnogih metod v geometriji trikotnika. Primer: Imamo tri točke s trilinearnimi koordinatami
- P = p : q : r
- U = u : v : w
- X = x : y : z
Te točke so kolinearne samo in samo, če je determinanta
enaka nič.
Zunanje povezave
[uredi | uredi kodo]- Encyclopedia of Triangle Centers – ETC (angleško)
- Trilinearne koordinate na MathWorld (angleško)
- Trilinearne koordinate na MathWorld (angleško)
- Trilinearne koordinate (angleško)
- Trilinearne koordinate (angleško)