Aritmetika
Aritmetika (od grčkog ἀριθμός arithmos, "broj") grana je matematike koja beleži osnovne osobine određenih operacija sa brojevima.[1]Aritmetika je elementarni deo teorije brojeva, i teorija brojeva se smatra jednim od osnovnih nivoa podele moderne matematike, zajedno sa algebrom, geometrijom, i analizom. Termina aritmetika i viša aritmetika su korišteni do početka 20. veka kao sinonimi za teoriju brojevi i ponekad se još uvek koriste kao naziv za širi deo teorije brojeva.[2]
Postoje četiri operacije: sabiranje, oduzimanje, množenje i deljenje, iako se ponekad ovde uvrštavaju i naprednije operacije, kao što su dizanje na kvadrat (kvadriranje) i vađenje korena (korenovanje). U aritmetici postoji prvenstvo operacija gde množenje i deljenje imaju prednost nad sabiranjem i oduzimanjem. Stavljanjem u zagrade, koje imaju prednost u odnosu na druge operacije, je moguće promeniti redosled izračunavanja u izrazima.
Aritmetika prirodnih, celih, racionalnih (u obliku razlomaka) i realnih brojeva (koji imaju decimale) obično se uči u osnovnoj školi. Tada se uči i procentni račun, odnosno predstavljanje brojeva pomoću postotaka. Ipak, većina odraslih oslanja se na kalkulatore, računare ili abakuse da bi izračunala aritmetičke operacije.
Pojam „aritmetika“ koristi se i za osnovnu teoriju brojeva; u tom kontekstu se pojavljuju i Osnovna teorema aritmetike i aritmetičke funkcije.
Istorija
[uredi | uredi izvor]Preistorija aritmetike je ograničena na mali broj artefakata koji mogu da indiciraju postojanje koncepata sabiranja i oduzimanja. Najpoznatiji je Išango kost iz centralne Afrike, koja potiče i perioda između 20.000 i 18.000 p. n. e, mada je njena interpretacija sporna.[3]
Najraniji pisani rekordi indiciraju da su Egipćani i Vavilonci koristili sve elementarne aritmetičke operacije još pre 2000. p. n. e. Ovi artefakti ne otkrivaju uvek specifičan proces koji je korišten za rešavanje problema, mada karakteristike datog numeričkog sistema snažno utiču na kompleksnost metoda. Hijeroglifski sistem Egipatskih brojeva, kao i kasniji rimski brojevi, izvedeni su iz beleški korištenih za prebrojavanje. U oba slučaja, takvo poreklo je dovelo do vrednosti koje se koriste u decimalnoj osnovi, ali poziciona notacija nije obuhvaćena. Kompleksni proračuni sa rimskim ciframa se mogu sprovesti uz pomoć brojčanice ili rimskog abakusa.
Rani brojevni sistemi koji su obuhvatali pozicionu notaciju nisu bili decimalni. Primeri takvih sistema su seksagezimalni (osnova 60) sistem za vavilonske brojeve i vigezimalni (osnova 20) sistem koji su definisali majanski brojevi. Zahvaljujući konceptu mesta i vrednosti, mogućnost ponovne upotrebe istih cifara za različite vrednosti doprinela je razvoju jednostavnijih i efikasnijih metoda računanja.
Kontinualni istorijski razvoj moderne aritmetike započeo je sa Helenističkom civilizacijom antičke Grčke, mada ona potiče iz znatno kasnijeg perioda od Vavilonskih i Egipatskih primera. Pre radova Euklida oko 300 p. n. e, grčke studije matematike su se preklapale sa filozofskim i mističkim verovanjima. Na primer, Nikomah je sumirao gledište ranijeg pitagorejskog pristupa brojevima, i njihovih međusobnih relacija, u svom radu Uvod u aritmetiku.
Grčke brojeve su koristili Arhimed, Diofantus i drugi u pozicionoj notaciji koja se puno ne razlikuje od današnje. Pošto je antičkim Grcima nedostajao simbol za nulu (do Helenističkog perioda), oni su koristili tri zasebna seta simbola. Jedan set za jedinično mesto, jedan za desetično mesto, i jedan za stotine. Zatim za mesto hiljada oni bi ponovo koristili simbole za jedinično mesto, i tako dalje. Njihov algoritam sabiranja je bio identičan današnjem, i njihov algoritam množenja se samo neznatno razlikovao. Njihov algoritam deljenja je bio isti, i algoritam kvadratnog korena, koji se nekad predavao u školama, je bio poznat Arhimedu, a moguće je i da ga je on izumeo. On ga je preferirao u odnosu na Heronov metod sukcesivnih aproksimacija zato što kad se jednom izračunaju cifre one se više ne menjaju, i kvadratni koreni perfektnih kvadrata, kao što je 7485696, bi se neposredno završavali, poput 2736. Za brojeve sa frakcionim delom, kao što je 546,934, oni su koristili negativni stepen od 60 umesto negativnog stepena od 10 za frakcioni deo 0,934.[4]
Antički Kinezi su unapredili aritmetičke studije počevši od vremena dinastije Šang i tokom dinastije Tang, od osnovnih brojeva do napredne algebre. Antički Kinezi su koristili pozicionu notaciju sličnu onoj koju su koristili Grci. Pošto im je nedostajao simbol za nulu, oni su imali jedan set simbola za jedinično mesto, i drugi set za mesto desetica. Za mesto stotina oni su ponovo koristili simbole jediničnog mesta, i tako dalje. Njihovi simboli su bili bazirani na drevnim brojevnim štapićima. Pitanje tačnog određivanja vremena kada su Kinezi počeli da računaju sa pozicionom reprezentacijom je komplikovano, ali se zna da je to definitivno bilo pre 400. p. n. e.[5] Antički Kinezi su prvi otkrili, razumeli i primenili negativne brojeve, kao što je objašnjeno u Devet poglavlja o matematičkoj veštini (Jiuzhang Suanshu), što je rad autora Lju Hui.
Postepenim razvojem hindu–arapskih brojeva nezavisno je razvijen vrednosno pozicioni koncept i poziciona notacija, koji kombinuju jednostavnije metode za računanje sa decimalnom osnovom i upotrebom cifre za 0. Time je formiran sistem za konzistentnu reprezentaciju velikih i malih celih brojeva. Taj pristup je vremenom zamenio sve druge sisteme. U ranom 6. veku, indijski matematičar Arjabhata je inkorporirao postojeću verziju tog sistema u svoj rad, i eksperimentisao je sa različitim notacijama. U 7. veku, Bramagupta je uspostavio upotrebu simbola 0 kao zasebnog broja i utvrdio rezultat množenja, deljenja, sabiranja i oduzimanja nule i svih drugih brojeva, izuzev rezultata deljenja nulom. Njegov savremenik, sirijski episkop Severus Sebokht (650.) je izjavio, „Indijci poseduju metod računanja koji ni jedna reč ne može dovoljno pohvaliti. Njihov racionalni sistem matematike, ili njihov metod računanja. Mislim da sistem koristi devet simbola.”[6] Arapi su isto tako znali za ovaj novi metod i nazivali su ga hesab.
Mada je Kodeks Vigilanus opisao jednu ranu formu arapskih brojeva (bez nule) do 976, Leonardo od Pize (Fibonači) je prvenstveno odgovoran za širenje njihove upotrebe u Evropi, nakon objavljivanja njegove knjige Liber Abaci 1202. godine. On je pisao, „Metod Indijaca (latinski Modus Indoram) prevazilazi bili koji drugi metod računanja. To je izvanredan metod. Oni vrše svoja izračunavanja koristeći devet cifara i simbol nulu”.[7] U srednjem veku, aritmetika je bila jedna od sedam liberalnih umetnosti predavanih na univerzitetima.
Napredna algebra srednjovekovnog islamskog sveta i renesansne Evrope je proistekla iz enormnog pojednostavljenja računanja primenom decimalne notacije. Razni tipovi oruđa su izmišljeni i široko korišteni kao pomagala u numeričkim proračunima. Pre renesanse, postojali su različiti tipovi abakusa. Primeri iz bliže prošlosti obuhvataju logaritmare, nomograme i mehaničke kalkulatore, kao što je paskalina. U današnje vreme, svi ti uređaji su zamenjeni elektronskim kalkulatorima i računarima.
Aritmetičke operacije
[uredi | uredi izvor]Osnovne aritmetičke operacije su sabiranje, oduzimanje, množenje i deljenje, mada ovaj predmet obično obuhvata i naprednije operacije, kao što je manipulacija procentima, kvadratnim korenima, stepenovanje, i logaritamske funkcije. Aritmetika se izvodi u skladu sa redosledom operacija. Bilo koji set objekata na kome se sve četiri aritmetičke operacije (izuzev deljenja nulom) mogu izvršiti, i gde su te operacije podložne uobičajenim zakonima, naziva se polje.[8]
Sabiranje
[uredi | uredi izvor]Sabiranje je osnovna računska operacija aritmetike. U svom najjednostavnijem obliku, sabrati dva broja znači naći broj
- Primeri
Mogu se sabrati više od 2 broja. To uključuje sabiranje beskonačno mnogo brojeva. Sabiranje broja s nekim brojem je najosnovniji oblik brojanja.
Sabiranjem broja i nekog broja dobijamo taj broj.
je neutralni element za sabiranje
Sabiranjem 2 suprotna broja dobijamo broj 0.
To je inverzan element za sabiranje.
Važi zakon komutacije
Važi zakon asocijacije
Sabrati se može i geometrijski, kao u sledećem primeru:
Ako postoje dva štapića dužine i i ako se stave jedan za drugim, tako da se kraj prvog poklapa sa početkom drugog štapića, dobija se štap čija je dužina
.
Oduzimanje
[uredi | uredi izvor]Oduzimanje je inverzna operacija od sabiranja. Rezultat ove operacije je razlika. Oduzeti broj od broja znači naći broj odnosno znači naći zbir brojeva i . To se zapisuje sa
Postoje sledeći slučajevi
- Ako je , onda je
- Ako je , onda je
- Ako je , onda je
Za oduzimanje ne važi zakon komutacije, a ni asocijacije.
Množenje
[uredi | uredi izvor]Množenje je druga osnovna računska operacija aritmetike. Pomnožiti 2 broja znači naći broj
, a to je
- Primer
Za množenje važi zakon komutacije
i asocijacije
Ako se broj pomnoži sa (neutralni element), dobija se broj
Ako se broj pomnoži sa recipročnom vrednosti broja , dobija se broj .
Ovo je inverzan broj.
Bilo koji broj može imati recipročnu vrednost osim .
Tablica množenja
[uredi | uredi izvor]× | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 | 26 | 28 | 30 | 32 | 34 | 36 | 38 | 40 | 42 | 44 | 46 | 48 | 50 |
3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 | 33 | 36 | 39 | 42 | 45 | 48 | 51 | 54 | 57 | 60 | 63 | 66 | 69 | 72 | 75 |
4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 | 44 | 48 | 52 | 56 | 60 | 64 | 68 | 72 | 76 | 80 | 84 | 88 | 92 | 96 | 100 |
5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 | 55 | 60 | 65 | 70 | 75 | 80 | 85 | 90 | 95 | 100 | 105 | 110 | 115 | 120 | 125 |
6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 | 66 | 72 | 78 | 84 | 90 | 96 | 102 | 108 | 114 | 120 | 126 | 132 | 138 | 144 | 150 |
7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 | 77 | 84 | 91 | 98 | 105 | 112 | 119 | 126 | 133 | 140 | 147 | 154 | 161 | 168 | 175 |
8 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 | 88 | 96 | 104 | 112 | 120 | 128 | 136 | 144 | 152 | 160 | 168 | 176 | 184 | 192 | 200 |
9 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 | 99 | 108 | 117 | 126 | 135 | 144 | 153 | 162 | 171 | 180 | 189 | 198 | 207 | 216 | 225 |
10 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 | 120 | 130 | 140 | 150 | 160 | 170 | 180 | 190 | 200 | 210 | 220 | 230 | 240 | 250 |
11 | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | 66 | 77 | 88 | 99 | 110 | 121 | 132 | 143 | 154 | 165 | 176 | 187 | 198 | 209 | 220 | 231 | 242 | 253 | 264 | 275 |
12 | 12 | 24 | 36 | 48 | 60 | 72 | 84 | 96 | 108 | 120 | 132 | 144 | 156 | 168 | 180 | 192 | 204 | 216 | 228 | 240 | 252 | 264 | 276 | 288 | 300 |
13 | 13 | 26 | 39 | 52 | 65 | 78 | 91 | 104 | 117 | 130 | 143 | 156 | 169 | 182 | 195 | 208 | 221 | 234 | 247 | 260 | 273 | 286 | 299 | 312 | 325 |
14 | 14 | 28 | 42 | 56 | 70 | 84 | 98 | 112 | 126 | 140 | 154 | 168 | 182 | 196 | 210 | 224 | 238 | 252 | 266 | 280 | 294 | 308 | 322 | 336 | 350 |
15 | 15 | 30 | 45 | 60 | 75 | 90 | 105 | 120 | 135 | 150 | 165 | 180 | 195 | 210 | 225 | 240 | 255 | 270 | 285 | 300 | 315 | 330 | 345 | 360 | 375 |
16 | 16 | 32 | 48 | 64 | 80 | 96 | 112 | 128 | 144 | 160 | 176 | 192 | 208 | 224 | 240 | 256 | 272 | 288 | 304 | 320 | 336 | 352 | 368 | 384 | 400 |
17 | 17 | 34 | 51 | 68 | 85 | 102 | 119 | 136 | 153 | 170 | 187 | 204 | 221 | 238 | 255 | 272 | 289 | 306 | 323 | 340 | 357 | 374 | 391 | 408 | 425 |
18 | 18 | 36 | 54 | 72 | 90 | 108 | 126 | 144 | 162 | 180 | 198 | 216 | 234 | 252 | 270 | 288 | 306 | 324 | 342 | 360 | 378 | 396 | 414 | 432 | 450 |
19 | 19 | 38 | 57 | 76 | 95 | 114 | 133 | 152 | 171 | 190 | 209 | 228 | 247 | 266 | 285 | 304 | 323 | 342 | 361 | 380 | 399 | 418 | 437 | 456 | 475 |
20 | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | 120 | 140 | 160 | 180 | 200 | 220 | 240 | 260 | 280 | 300 | 320 | 340 | 360 | 380 | 400 | 420 | 440 | 460 | 480 | 500 |
21 | 21 | 42 | 63 | 84 | 105 | 126 | 147 | 168 | 189 | 210 | 231 | 252 | 273 | 294 | 315 | 336 | 357 | 378 | 399 | 420 | 441 | 462 | 483 | 504 | 525 |
22 | 22 | 44 | 66 | 88 | 110 | 132 | 154 | 176 | 198 | 220 | 242 | 264 | 286 | 308 | 330 | 352 | 374 | 396 | 418 | 440 | 462 | 484 | 506 | 528 | 550 |
23 | 23 | 46 | 69 | 92 | 115 | 138 | 161 | 184 | 207 | 230 | 253 | 276 | 299 | 322 | 345 | 368 | 391 | 414 | 437 | 460 | 483 | 506 | 529 | 552 | 575 |
24 | 24 | 48 | 72 | 96 | 120 | 144 | 168 | 192 | 216 | 240 | 264 | 288 | 312 | 336 | 360 | 384 | 408 | 432 | 456 | 480 | 504 | 528 | 552 | 576 | 600 |
25 | 25 | 50 | 75 | 100 | 125 | 150 | 175 | 200 | 225 | 250 | 275 | 300 | 325 | 350 | 375 | 400 | 425 | 450 | 475 | 500 | 525 | 550 | 575 | 600 | 625 |
Deljenje
[uredi | uredi izvor]Deljenje je inverzna računska operacija množenju. Nije definisano deljenje brojem . Podeliti dva broja znači naći broj odnosno naći proizvod broja i recipročne vrednosti broja .
To znači
Postoje slučajevi
- Za
- Za
- Za
Ne važi zakon komutacije, a ni asocijacije. Za deljenje napisano kao proizvod važe sve osobine koje važe za množenje.
Decimalna aritmetika
[uredi | uredi izvor]Sve vrste zapisa brojeva mogu se zapisati decimalnim zapisom. Na primer zapis broja je: . Ovaj zapis brojeva obuhvata sva pravila aritmetičkih operacija:
Decimalna reprezentacija se ekskluzivno odnosi, u običnoj upotrebi, na pisani numerički sistem koji koristi arapske cifre kao brojeve sa osnovom 10 („decimalnom”) pozicione notacije; međutim, svaki numerički sistem baziran na stepenu od 10, e.g., grčki, ćirilični, rimski, ili kineski brojevi mogu konceptualno biti opisani kao „decimalna notacija” ili „decimalna reprezentacija”.
Moderne metode za četiri fundamentalne operacije (sabiranje, oduzimanje, množenje i deljenje) je prvi je izmislio Bramagupta u Indiji. To je bilo poznato u srednjovekovnoj Evropi kao Modus Indoram ili metod Indusa. Poziciona notacija (takođe poznata kao „notacija mesta i vrednosti”) odnosi se na predstavljanje i kodiranje brojeva koristeći isti simbol za različite redove veličine (npr., „mesto jedinica”, „mesto desetica”, „mesto stotina”) i, sa radijskom tačkom, koristeći te iste simbole za predstavljanje frakcija (npr., „mesto desetih delova”, „mesto stotih delova”). Na primer, 507,36 označava 5 stotina (102), plus 0 desetica (101), plus 7 jedinica (100), plus 3 desetine (10−1), plus 6 stotine (10−2).
Koncept 0 kao broja uporedivog sa drugim osnovnim ciframa je esencijalan za ovu notaciju, kao što je i koncept upotrebe nule za rezervisanje mesta, i definicija množenja i sabiranja sa nulom. Upotreba nule za rezervisanje mesta i stoga upotreba pozicione notacije je prvi put zabeležena u đainizanskom tekstu iz Indije sa naslovom Lokavibhaga, iz 458. godine i tek je ranom 13. veku ovaj koncept, prenet preko učenjaka arapskog sveta. U Evropu ga je uveo Fibonači[9] koristeći indusko–arapski brojevni sistem.
Algorizam se sastoji od pravila za izvođenje aritmetičkih proračuna koristeći ovaj tip pisanih cifara. Na primer, sabiranje proizvodi sumu dva arbitrarna broja. Rezultat se izračunava ponavljanjem dodavanja pojedinačnih cifara iz svakog broja koje zauzimaju istu poziciju, idući zdesna nalevo. Tabela dodavanja sa deset redova i deset kolona prikazuje sve moguće vrednosti svih suma. Ako jedna individualna suma premaši vrednost 9, rezultat se predstavlja sa dve cifre. Cifra s desne strane je vrednost za trenutnu poziciju, a rezultat naknadnog dodavanja cifara s leve strane se povećava za vrednost druge (leve) cifre, koja je uvek jednaka jedinici. Ovo prilagođavanje se naziva prenošenjem vrednosti 1.
Proces množenja dva arbitrarna broja je sličan procesu sabiranja. Tabela množenja sa deset redova i deset kolona navodi rezultate za svaki par cifara. Ako jedan individualni proizvod para cifara premaši 9, prenosno podešavanje povećava rezultat svakog narednog množenja cifara na levoj strani za vrednost koja je jednaka drugoj (levoj) cifri, što može da bude bilo koja vrednost u opsegu od 1 do 8 (9 × 9 = 81). Dodatni koraci definišu finalni rezultat. Slične tehnike postoje za oduzimanje i deljenje.
Kreiranje korektnog procesa za množenje se oslanja na odnose između vrednosti susednih cifara. Vrednost bilo koje pojedinačne cifre broja zavisi od njene pozicije. Isto tako, svaka pozicija sa leve strane predstavlja vrednost koja je deset puta veća od date pozicije. U matematičkom smislu, eksponent za bazu od 10 se povećava za 1 (nalevo) i smanjuje za 1 (nadesno). Stoga je vrednost bilo koje arbitrarne cifre pomnožena vrednošću oblika 10n pri čemu je n ceo broj. Lista vrednosti koje korespondiraju svim mogućim pozicijama pojedinačnih cifri se piše kao {..., 102, 10, 1, 10−1, 10−2, ...}.
Ponovljeno množenje bilo koje vrednosti u ovoj listi sa 10 proizvodi drugu vrednost na listi. U matematičkoj terminologiji, ova karakteristika se definiše kao zatvorenost, i prethodna lista se opisuje kao zatvorena pod množenjem. Ovo je osnova za korektno nalaženje rezultata množenja koristeći prethodne tehnike. Ovaj ishod je jedan od primera upotrebe teorije brojeva.
Reference
[uredi | uredi izvor]- ^ Mišić, Milan, ur. (2005). Enciklopedija Britanika. A-B. Beograd: Narodna knjiga : Politika. str. 67. ISBN 86-331-2075-5.
- ^ Davenport, Harold (1999). The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers (7th izd.). Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63446-5.
- ^ Rudman 2007, str. 64.
- ^ The Works of Archimedes, Chapter IV, Arithmetic in Archimedes, edited by T.L. Heath, Dover Publications Inc, New York, 2002.
- ^ Joseph Needham, Science and Civilization in China, Vol. 3. pp. 9, Cambridge University Press, 1959.
- ^ Reference: Revue de l'Orient Chretien by François Nau pp. 327-338. (1929)
- ^ Reference: Sigler, L., "Fibonacci's Liber Abaci", Springer, 2003.
- ^ Tapson 1996
- ^ Leonardo Pisano - pp. 3: "Contributions to number theory". Encyclopædia Britannica Online, 2006. Pristupljeno 18 September 2006.
Literatura
[uredi | uredi izvor]- Davenport, Harold (1999). The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers (7th izd.). Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63446-5.
- Rudman, Peter Strom (2007). How Mathematics Happened: The First 50,000 Years. Prometheus Books. ISBN 978-1-59102-477-4.
- Tapson, Frank (1996). The Oxford Mathematics Study Dictionary. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-914551-5.
- Cunnington, Susan, The Story of Arithmetic: A Short History of Its Origin and Development, Swan Sonnenschein, London, 1904
- Dickson, Leonard Eugene, History of the Theory of Numbers (3 volumes), reprints: Carnegie Institute of Washington, Washington, 1932; Chelsea, New York, 1952, 1966
- Euler, Leonhard, Elements of Algebra, Tarquin Press, 2007
- Fine, Henry Burchard (1858–1928), The Number System of Algebra Treated Theoretically and Historically, Leach, Shewell & Sanborn, Boston, 1891
- Karpinski, Louis Charles (1878–1956), The History of Arithmetic, Rand McNally, Chicago, 1925; reprint: Russell & Russell, New York, 1965
- Ore, Øystein, Number Theory and Its History, McGraw–Hill, New York, 1948
- Weil, André, Number Theory: An Approach through History, Birkhauser, Boston, 1984; reviewed: Mathematical Reviews 85c:01004
- "Subtraction in the United States: An Historical Perspective", Susan Ross, Mary Pratt-Cotter, The Mathematics Educator, Vol. 8, No. 1.
- Browell, W.A. (1939). Learning as reorganization: An experimental study in third-grade arithmetic, Duke University Press.
Spoljašnje veze
[uredi | uredi izvor]- MathWorld article about arithmetic
- The New Student's Reference Work/Arithmetic (historical)
- The Great Calculation According to the Indians, of Maximus Planudes – an early Western work on arithmetic at Convergence
- Weyde, P. H. Vander (1879). „Arithmetic”. The American Cyclopædia.
- "A Friendly Gift on the Science of Arithmetic"