Beppo Levis sats

Beppo Levis sats är en matematisk sats i måtteori. Den säger att måttintegralen är sigma-additiv med avseende på icke-negativa mätbara funktioner. Satsen är uppkallad efter den italienska matematikern Beppo Levi som bevisade den. Observera att det finns andra satser som kallas Levis sats.

Låt ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ vara ett måttrum och ${\displaystyle f_{k}\geq 0}$ vara mätbara funktioner. Beppo Levis sats säger att

${\displaystyle \int \sum _{k=1}^{\infty }f_{k}\,d\mu =\sum _{k=1}^{\infty }\int f_{k}\,d\mu }$.

^[1]

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2022-09) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Detta är en enkel följd av monotona konvergenssatsen, som kan appliceras på alla delsummor av de oändliga summorna:

För ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, beteckna

${\displaystyle g_{n}:=\sum _{k=1}^{n}f_{k}}$.

Eftersom ${\displaystyle f_{k}\geq 0\,}$ för alla ${\displaystyle k=1,2,...,n\,}$ så är ${\displaystyle 0\leq g_{1}\leq g_{2}\leq \ldots g_{n}}$ mätbara funktioner. Därför är monotona konvergenssatsen möjlig att använda för funktionerna ${\displaystyle g_{n}\,}$. Eftersom måttintegralen är additiv så är

${\displaystyle \int \sum _{k=1}^{\infty }f_{k}\,d\mu =\int \lim _{n\rightarrow \infty }g_{n}\,d\mu {\stackrel {\mathrm {MKS} }{=}}\lim _{n\rightarrow \infty }\int g_{n}\,d\mu {\stackrel {\mathrm {additiv} }{=}}\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{n}\int f_{k}\,d\mu =\sum _{k=1}^{\infty }\int f_{k}\,d\mu .}$

Vilket bevisar satsen.

• Egenskaper hos måttintegral