j-invarianten
Den här artikeln har källhänvisningar, men eftersom det saknas fotnoter är det svårt att avgöra vilken uppgift som är hämtad var. (2020-09) Hjälp gärna till med att redigera artikeln, eller diskutera saken på diskussionssidan. |
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/37/KleinInvariantJ.jpg/200px-KleinInvariantJ.jpg)
Inom matematiken är Kleins j-invariant, sedd som en funktion av komplexa variabeln τ, en modulär funktion av vikt noll för SL(2, Z) definierad i övre planhalvan av komplexa planet. Den är den unika funktionen med dessa egenskaper som är analytisk förutom vid en spets där den har en enkel pol så att
Rationella funktioner av j är modulära, och det kan visas att alla modulära funktioner är av denna form. j-invarianten studerades klassiskt som en parametrisering av elliptiska kurvor över C, men den har även överraskande samband med symmetrierna av Monstergruppen.
Fourierexpansion
[redigera | redigera wikitext]j-invariantens Fourierexpansion i variabeln q = exp(2πiτ) börjar
Alla koefficienterna är heltal, vilket resulterar i flera nästan-heltal, såsom Ramanujans konstant:
- .
Alternativa uttryck
[redigera | redigera wikitext]Följande formel gäller
där x = λ(1−λ) och λ är modulära lambdafunktionen. Värdet av j förblir oförändrat då λ ersätts med något av de sex värdena
Klasskroppsteori och j
[redigera | redigera wikitext]j-invarianten har många remarkabla egenskaper:
- Om τ är ett singulärt moduli, d.v.s. ett godtyckligt element av en imaginär kvadratisk kropp med positiv imaginär del (så att j är definierad), då är j(τ) ett algebraiskt heltal.[1]
- Kroppsutvidgningen Q[j(τ), τ]/Q(τ) är abelsk, d.v.s. har abelsk Galoisgrupp.
Formler för pi
[redigera | redigera wikitext]Genom att använda formeln bevisade Chudnovskybröderna 1987 formlen
Källor
[redigera | redigera wikitext]- Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, j-invariant, 15 april 2014.
- Apostol, Tom M. (1976), Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, "41", New York: Springer-Verlag. Provides a very readable introduction and various interesting identities.
- Apostol, Tom M. (1990), Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (2nd), ISBN 0-387-97127-0
- Berndt, Bruce C.; Chan, Heng Huat (1999), ”Ramanujan and the modular j-invariant”, Canadian Mathematical Bulletin 42 (4): 427–440, doi: , arkiverad från ursprungsadressen den 2007-09-29, https://web.archive.org/web/20070929105913/http://www.journals.cms.math.ca/cgi-bin/vault/public/view/berndt7376/body/PDF/berndt7376.pdf. Provides a variety of interesting algebraic identities, including the inverse as a hypergeometric series.
- Cox, David A. (1989), Primes of the Form x^2 + ny^2: Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication, New York: Wiley-Interscience Publication, John Wiley & Sons Inc. Introduces the j-invariant and discusses the related class field theory.
- Conway, John Horton; Norton, Simon (1979), ”Monstrous moonshine”, Bulletin of the London Mathematical Society 11 (3): 308–339, doi:. Includes a list of the 175 genus-zero modular functions.
- Petersson, Hans (1932), ”Über die Entwicklungskoeffizienten der automorphen Formen”, Acta Mathematica 58 (1): 169–215, doi:.
- Rademacher, Hans (1938), ”The Fourier coefficients of the modular invariant j(τ)”, American Journal of Mathematics (The Johns Hopkins University Press) 60 (2): 501–512, doi:.
- Rankin, Robert A. (1977), Modular forms and functions, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-21212-X. Provides a short review in the context of modular forms.
- Schneider, Theodor (1937), ”Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale”, Math. Annalen 113: 1–13, doi:.
Fotnoter
[redigera | redigera wikitext]- ^ Silverman, Joseph H. (1986). The Arithmetic of Elliptic Curves. Graduate Texts in Mathematics. "106". Springer-Verlag. sid. 339. ISBN 0-387-96203-4