Adını İngiliz fizikçi Paul Dirac'tan alan spinli ve göreli kuantum mekaniği denklemi,
![{\displaystyle \gamma ^{\mu }p_{\mu }c\mathbf {\Psi } =m_{0}c^{2}\mathbf {\Psi } }](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48ea4e965f3956d54acfbf19148e12eac6015d9c)
şeklinde ifade edilebilir. Burada;
- m_0 : parçacığın durağan kütlesini,
- c : ışık hızını,
: dörtmomentumu,
: Dirac matrislerini
göstermektedir. Ayrıca
, dört tane karmaşık sayıdan oluşan bir kolon matristir ve olasılığın dalga fonksiyonudur. Bu dört sayı da iki gruba ayrılır:
![{\displaystyle \Psi ={\begin{bmatrix}\Psi ^{+}\\\Psi ^{-}\end{bmatrix}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b272ffaa2d5b6ba75e478c566c6df8d3a064a9f9)
Buradaki
ve
, Dirac dönücüleri olarak adlandırılır ve her birinin farklı bir fiziksel anlamı vardır.
dönücüsü, pozitif enerjileri,
negatif enerjileri ifāde eder. Bunlar da
|
ve
|
|
olarak tanımlanır.
yukarı dönü ve
aşağı dönü olarak anlam kazanır. Yani, dalga fonksiyonu;
![{\displaystyle \Psi ={\begin{bmatrix}\psi ^{+}\\\phi ^{+}\\\psi ^{-}\\\phi ^{-}\end{bmatrix}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ceba512aff7fa0eae9788d87b518ed6647dd382)
şeklindedir.
Dırac denklemlerinde
bileşenini ayırıp gerisi için i=1,2,3 indisini bırakırsak (bknz. Minkowski uzayzamanı), Dirac denklemi;
![{\displaystyle \gamma ^{0}p_{0}c\mathbf {\Psi } +\gamma ^{i}p_{i}c\mathbf {\Psi } =m_{0}c^{2}\mathbf {\Psi } }](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bb9bba941c34a0c207467268a108ab8c86c36f8)
biçiminde yazılabilir. Dirac matrisleri; I, birim matris olmak üzere
|
ve
|
|
olarak Pauli matrisleri cinsinden yazılabilir. Bunlar yerine konunca Dirac denklemi,
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&&p_{0}c+\sigma ^{i}p_{i}c\\p_{0}c-\sigma ^{i}p_{i}c&&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi ^{+}\\\Psi ^{-}\end{bmatrix}}=m_{0}c^{2}{\begin{bmatrix}\Psi ^{+}\\\Psi ^{-}\end{bmatrix}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e46333fd0584160750c5713880034ba1309299ed)
biçimini alır. Matris çarpımı yapılırsa, çiftlenimli denklemler elde edilir:
![{\displaystyle \left(p_{0}c-\sigma ^{i}p_{i}c\right)\Psi ^{-}=m_{0}c^{2}\Psi ^{+}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d60099c563e6b9321ac0e0106ccf5f64cc3daed3)
![{\displaystyle \left(p_{0}c+\sigma ^{i}p_{i}c\right)\Psi ^{+}=m_{0}c^{2}\Psi ^{-}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e9b9a863049e2c44b30bd16ffe120809094af91)
Bu özdeğer denklemlerini çözmek için, dönücülerden biri çekilip diğer denklemde yerine yazılabilir. Buradan, göreliliğin en önemli denklemlerinden biri elde edilir:
![{\displaystyle p_{0}^{2}c^{2}-p_{i}^{2}c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62dea199dc83608ec6c7ff2c81618ccc36679999)
Burada
ve
olduğundan ifade,
![{\displaystyle E^{2}-|\mathbf {p} |^{2}c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faef84af6969db8a370047f498e601976f8eb031)
şeklindedir. Buradan E için pozitif ve negatif değerler gelir.
Denklemdeki dörtmomentum işlemcisine elektromanyetik potansiyeli dahil edersek:
![{\displaystyle p_{\mu }\rightarrow p_{\mu }-{\frac {e}{c}}A_{\mu }}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d74c39c81af8886a43eccc73ba194b3c3b0f80f)
denklem,
![{\displaystyle \gamma ^{\mu }\left(p_{\mu }c-eA_{\mu }\right)\mathbf {\Psi } =m_{0}c^{2}\mathbf {\Psi } }](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f41d8e2207da2b08b22f6df71ae056c480f1cbb)
biçimine gelir. Buradaki
, elektromanyetik dörtpotansiyeldir ve e elektriksel yüktür.