Вихованець віденської команди «Вінер АК». З 1926 року почав залучатися до виступів за головну команду. В 19 років став повноцінним гравцем основного складу. Найбільш вдалим у цьому клубові став 1931 рік. Восени команда здобула кубок Австрії. Турнір проходив за експериментальною схемою: десять команд визначали переможця у круговому турнірі. Гайнріх Мюллер забивав у кожному поєдинку, у тому числі і вирішальний — у ворота «Вінер Шпорт-Клуба»[1].
Команда здобула путівку до кубку Мітропи. На шляху до фіналу були здобуті перемоги над угорською «Хунгарією» і чеською «Спартою». У вирішальних матчах сильнішим виявився діючий чемпіон Австрії — клуб «Фірст Вієнна». Гайнріх Мюллер брав участь в обох фінальних поєдинках, забив один гол.
У національній збірній дебютував 20 березня 1932 року у Відні. У матчі кубка Центральної Європи австрійці перемогли збірну Італії. До жовтня наступного року провів ще чотири поєдинки у головній команді країни і в кожному забивав по голу.
Також виступав у складі збірної Відня. Дебютував у 1929 році у поєдинку проти збірної Братислави, у якому відкрив рахунок уже на 3-й хвилині матчу, хоча його у команда у підсумку поступилась з рахунком 2:3[2]. Також виступав у таких міжнародних іграх збірної Відня: Прага (2:1, забив гол, 1930 рік), Кельн (6:1, забив гол, 1931), Дуйсбург (6:2, 131), Прага (0:2, 1933) і Париж (4:1, 1933)[3].
1935 року переїхав до Угорщини. У «Хунгарії» відразу став гравцем основи. Вніс вагомий внесок у здобуття двох чемпіонських титулів, був одним із найкращих голеадорів ліги. Всього за команду з Будапешта провів у чемпіонаті Угорщини 49 поєдинків, забив 35 м'ячів.
До віденської «Аустрії» перейшов у 1940 році. В чемпіонаті 1946/47 був граючим тренером команди, а по його завершенні — зосередився на тренерській діяльності. Під його керівництвом клуб тричі перемагав у чемпіонаті і двічі у кубку Австрії. Головними «зірками» того складу були Ернст Оцвірк і Ернст Стояспал — один з найкращих бомбардирів в історії австрійського футболу. У 1951 році команда провела турне по Південній Америці. На «Маракані» був розгромлений уругвайський «Насьйональ», у складі якого грало шість чемпіонів світу 1950 року. Працював в «Аустрії» до 1954 року.
В одному матчі був керманичем збірної Нідерландів. 15 серпня 1956 року в Лозанні підопічні Мюллера перемогли швейцарців з рахунком 3:2.
З кінця 50-х і до початку 70-х років працював головним тренером у нідерландському клубові «Віллем II», грецькому АЕКу і віденській «Аустрії».