Практичне число
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c1/Practical_number_Cuisenaire_rods_12.png/220px-Practical_number_Cuisenaire_rods_12.png)
Практичне число або панаритмічне число[1] — це додатне ціле число n, таке що всі менші додатні цілі числа можна подати у вигляді суми різних дільників числа n. Наприклад, 12 є практичним числом, оскільки всі числа від 1 до 11 можна подати у вигляді суми дільників 1, 2, 3, 4 і 6 цього числа — крім самих дільників, ми маємо 5 = 3 + 2, 7 = 6 + 1, 8 = 6 + 2, 9 = 6 + 3, 10 = 6 + 3 + 1 і 11 = 6 + 3 + 2.
Послідовність практичних чисел (послідовність A005153 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS) починається з
- 1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 104, 108, 112, 120, 126, 128, 132, 140, 144, 150…
Практичні числа використовував Фібоначчі в своїй книзі Liber Abaci (1202) у зв'язку з задачею про подання раціональних чисел у вигляді єгипетських дробів. Фібоначчі не визначав формально практичні числа, але він дав таблицю подання єгипетських дробів для дробів з практичними знаменниками[2].
Назву «практичне число» дав Шрінівасан[3]. Він зауважив, що «розбиття грошей, ваги та інших мір з використанням таких чисел, як 4, 12, 16, 20 і 28, зазвичай настільки незручні, що заслуговують заміни степенями 10». Він перевідкрив низку теоретичних властивостей таких чисел і першим спробував класифікувати ці числа, а Стюарт [4] і Серпінський [5] завершили класифікацію. Визначення практичних чисел уможливлює визначити, чи є число практичним шляхом перегляду розкладу числа на прості множники. Будь-яке парне досконале число і будь-який степінь двійки є практичним числом.
Можна показати, що практичні числа аналогічні простим числам у багатьох сенсах[6].
У початковому описі Шрінівасан[3] стверджує, що практичне число не може бути недостатнім числом, тобто числом, сума всіх дільників якого (включно з 1 і самим числом) менша від подвоєного числа, якщо не брати до уваги нестачу, що дорівнює одиниці. Якщо для практичного числа виписати впорядковану множину дільників , де і , то твердження Шрінівасана можна виразити нерівністю
- .
Іншими словами, упорядкована послідовність всіх дільників практичного числа повинна бути повною підпослідовністю[ru].
Це визначення розширили і завершили Стюарт[4] і Серпінський[5], які показали, що визначення, чи є число практичним, визначається його розкладанням на прості дільники. Додатне ціле число, більше від 1 з розкладом (з упорядкуванням простих дільників за зростанням ), є практичним тоді і тільки тоді, коли кожен його простий дільник досить малий, щоб мало пода��ня у вигляді суми менших дільників. Щоб це виконувалось, перше просте число має дорівнювати 2, а для будь-якого i від 2 до k для кожного наступного простого числа має виконуватися нерівність
де означає суму дільників числа . наприклад, є практичним, оскільки нерівність виконується для кожного з простих дільників: і .
Умова, наведена вище, є необхідною і достатньою. З одного боку, ця умова є необхідною, щоб можна було подати у вигляді суми дільників числа , оскільки в разі порушення нерівності додавання всіх менших дільників дало б суму, занадто малу, щоб отримати . З іншого боку, умова є достатньою, що можна отримати за індукцією. Більш строго, якщо розклад числа задовольняє наведеній вище умові, то будь-яке число можна подати у вигляді суми дільників числа після таких кроків[4][5]:
- нехай , і нехай .
- Оскільки можна показати за індукцією, що і є практичними, можна знайти подання q у вигляді суми дільників .
- Оскільки можна показати за індукцією, що і є практичними, то можна знайти подання r у вигляді суми дільників .
- Подання у вигляді дільників r, разом з коефіцієнтом для кожного дільника подання у вигляді дільників q, разом утворюють подання m у вигляді суми дільників n.
- Єдине непарне практичне число — 1, оскільки якщо n>2 є непарним числом, то 2 можна подати у вигляді суми різних дільників числа . Шрінівасан[3] зауважив, що відмінні від 1 і 2 практичні числа діляться на 4 або 6 (або на обидва).
- Добуток двох практичних чисел є також практичним числом[7]. Сильніше твердження: найменше спільне кратне будь-яких двох практичних чисел, є також практичним числом. Еквівалентно, множина всіх практичних чисел замкнута відносно множення.
- З опису чисел Стюартом і Серпінським можна бачити, що в разі, коли є практичним числом, а є одним з його дільників, число n*d має бути також практичним числом.
- У множині всіх практичних чисел існує множина простих практичних чисел. Просте практичне число — це або практичне і вільне від квадратів число, або практичне, яке при діленні на будь-який його простий дільник, показник якого в розкладі більший від 1, перестає бути практичним. Послідовність простих практичних чисел (послідовність A267124 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS) починається з
- 1, 2, 6, 20, 28, 30, 42, 66, 78, 88, 104, 140, 204, 210, 220, 228, 260, 272, 276, 304, 306, 308, 330, 340, 342, 348, 364, 368, 380, 390, 414, 460…
Кілька інших гідних уваги множин цілих чисел складаються виключно з практичних чисел:
- З властивостей, наведених вище, для практичного числа і одного з його дільників (тобто, | ) число має також бути практичним, так що помноживши на 6 будь-який степінь числа 3 отримаємо практичне число, як і помноживши на 6 будь-який степінь числа 2.
- Будь-яка степінь двійки є практичним числом[3]. Степінь двійки тривіально задовольняє опису практичних чисел у термінах розкладання цілих чисел — всі прості числа в розкладі числа, p1, дорівнюють двом, що й потрібно.
- Будь-яке парне досконале число є також практичним числом[3]. Це випливає з результату Ейлера, що парне досконале число мусить мати вигляд . Непарн�� частина цього розкладу дорівнює сумі дільників парної частини, так що будь-який непарний простий дільник такого числа має бути не більшим від суми дільників парної частини числа. Таким чином, це число має задовольняти опису практичних чисел.
- Будь-який прайморіал (добуток перших i простих для деякого числа i) є практичним числом[3]. Для перших двох прайморіалов, двійки і шістки це ясно. Кожен наступний прайморіал утворюється множенням простого числа pi на менший прайморіал, який ділиться як на двійку, так і на попереднє просте число . Згідно з постулатом Бертрана , так що кожен попередній простий дільник прайморіала менший, ніж один з дільників попереднього прайморіала. За індукцією, з цього випливає, що будь-який прайморіал задовольняє опису практичних чисел. Оскільки прайморіал за визначенням вільний від квадратів, він також є простим практичним числом.
- Узагальнюючи прайморіали, будь-яке число, яке є добутком ненульових ступенів перших k простих чисел, має бути практичним. У цю множину потрапляють надскладені числа Рамануджана (числа з кількістю дільників, більшою від будь-якого меншого додатного числа), а також факторіали[3].
Якщо n є практичним, то будь-яке раціональне число вигляду m/n з m<n можна подати у вигляді суми , де всі di є різними дільниками числа n. Кожен член цієї суми зводиться до аліквотного дробу, так що така сума дає подання числа m/n у вигляді єгипетського дробу, наприклад,
Фібоначчі в своїй книзі 1202 року Liber Abaci[2] наводить деякі методи пошуку подання раціонального числа у вигляді єгипетського дробу. З них перший метод полягає в перевірці, чи не є число вже аліквотним дробом, а другий метод полягає в поданні чисельника у вигляді суми дільників знаменника, як описано вище. Цей метод гарантує успіх тільки в разі, коли знаменник є практичним числом. Фібоначчі навів таблиці таких поданнь для дробів, що мають знаменниками практичні числа 6, 8, 12, 20, 24, 60 і 100.
Воуз[8] показав, що будь-яке число x/y має подання у вигляді єгипетського дробу з членами. Доведення використовує пошук послідовності практичних чисел ni зі властивістю, що будь-яке число, менше від ni, можна записати у вигляді суми різних дільників числа ni. Тоді i вибирається так, що і ділиться на y, даючи частку q і остачу r. З цього вибору випливає, що . Розклавши чисельники в правій частині формули на суму дільників числа ni одержимо подання числа у вигляді єгипетського дробу. Тененбаум і Йокота[9] застосували подібну техніку, що використовує іншу послідовність практичних чисел, щоб показати, що будь-яке число має подання у вигляді єгипетського дробу, в якому найбільший знаменник дорівнює .
Згідно з гіпотезою Чжи Вей Суня (вересень 2015 року)[10], будь-яке додатне раціональне число має подання у вигляді єгипетського дробу, в якому будь-який знаменник є практичним числом. Існує доведення гіпотези в блозі Девіда Еппштейна[11].
Одна з причин інтересу до практичних чисел полягає в тому, що багатьма властивостями вони подібні до простих чисел. Більш того, теореми, аналогічні гіпотезі Гольдбаха і гіпотезі про числа-близнюки, відомі для практичних чисел — будь-яке додатне парне число є сумою двох практичних чисел і існує нескінченно багато трійок практичних чисел [12]. Джузеппе Мелфі показав також, що існує нескінченно багато практичних чисел Фібоначчі (послідовність A005153 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS). Аналогічне питання про існування нескінченного числа простих чисел Фібоначчі[en] залишається відкритим. Гаусман і Шапіро[13] показали, що завжди існує практичне число в інтервалі для будь-якого додатного дійсного x, що є аналогом гіпотези Лежандра для простих чисел.
Нехай підраховує кількість практичних чисел, що не перевершують . Маргенштерн[7] висловив гіпотезу, що асимптотично дорівнює для деякої сталої c, що нагадує формулу в теоремі про розподіл простих чисел і підсилює раніше твердження Ердеша і Локстона[14], що практичні числа мають щільність нуль у множині цілих чисел. Саєс[15] довів, що для відповідних констант c1 і c2
Нарешті, Вайнгартнер[16] довів гіпотезу Маргенштерна, показавши, що
для і деякої константи .
- ↑ Маргентшерн(Margenstern, 1991), цитуючи Робінсона(Robinson, 1979) і Гейворта(Heyworth, 1980), вживає назву «панаритмічні числа».
- ↑ а б Sigler, 2002.
- ↑ а б в г д е ж Srinivasan, 1948.
- ↑ а б в Stewart, 1954.
- ↑ а б в Sierpiński, 1955.
- ↑ Hausman, Shapiro, (1984); Margenstern, (1991); Melfi, (1996); Saias, (1997).
- ↑ а б Margenstern, 1991.
- ↑ Vose, 1985.
- ↑ Tenenbaum, Yokota, 1990.
- ↑ A Conjecture on Unit Fractions Involving Primes
- ↑ 0xDE: Egyptian fractions with practical denominators
- ↑ Melfi, 1996.
- ↑ Hausman, Shapiro, 1984.
- ↑ Erdős, Loxton, 1979.
- ↑ Saias, 1997.
- ↑ Weingartner, 2015.
- Paul Erdős, Loxton J. H. Some problems in partitio numerorum // Journal of the Australian Mathematical Society (Series A). — 1979. — Т. 27, вип. 03. — С. 319–331. — DOI:10.1017/S144678870001243X.
- Heyworth M. R. More on panarithmic numbers // New Zealand Math. Mag.. — 1980. — Т. 17, вип. 1. — С. 24–28.. Як процитовано в Маргенштерна (Margenstern, 1991).
- Miriam Hausman, Harold N. Shapiro. On practical numbers // Communications on Pure and Applied Mathematics. — 1984. — Т. 37, вип. 5. — С. 705–713. — DOI:10.1002/cpa.3160370507.
- Maurice Margenstern. Résultats et conjectures sur les nombres pratiques // Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I. — 1984. — Т. 299, вип. 18. — С. 895–898. Как процитировано у Маргенштерна (Margenstern, 1991).
- Maurice Margenstern. Les nombres pratiques: théorie, observations et conjectures // Journal of Number Theory. — 1991. — Т. 37, вип. 1. — С. 1–36. — DOI:10.1016/S0022-314X(05)80022-8.
- Giuseppe Melfi. On two conjectures about practical numbers // Journal of Number Theory. — 1996. — Т. 56, вип. 1. — С. 205–210. — DOI:10.1006/jnth.1996.0012.
- Dragoslav S. Mitrinović, József Sándor, Borislav Crstici. III.50 Practical numbers // Handbook of number theory, Volume 1. — Kluwer Academic Publishers, 1996. — Т. 351. — С. 118–119. — (Mathematics and its Applications). — ISBN 978-0-7923-3823-9.
- Robinson D. F. Egyptian fractions via Greek number theory // New Zealand Math. Mag.. — 1979. — Т. 16, вип. 2. — С. 47–52.. Як процитовано в Маргенштерна (Margenstern, 1991) і Митриновича Mitrinović, Sándor та Crstici, (1996).
- Entiers à diviseurs denses, I // Journal of Number Theory. — 1997. — Т. 62, вип. 1. — С. 163–191. — DOI:10.1006/jnth.1997.2057.
- Fibonacci's Liber Abaci / Laurence E. Sigler (перевод). — Springer-Verlag, 2002. — С. 119–121. — ISBN 0-387-95419-8.
- Wacław Sierpiński. Sur une propriété des nombres naturels // Annali di Matematica Pura ed Applicata. — 1955. — Т. 39, вип. 1. — С. 69–74. — DOI:10.1007/BF02410762.
- Srinivasan A. K. Practical numbers // Current Science. — 1948. — Т. 17. — С. 179–180.
- Stewart B. M. Sums of distinct divisors // American Journal of Mathematics. — The Johns Hopkins University Press, 1954. — Т. 76, вип. 4. — С. 779–785. — DOI:10.2307/2372651. — JSTOR 2372651.
- Tenenbaum G., Yokota H. Length and denominators of Egyptian fractions // Journal of Number Theory. — 1990. — Т. 35, вип. 2. — С. 150–156. — DOI:10.1016/0022-314X(90)90109-5.
- Vose M. Egyptian fractions // Bulletin of the London Mathematical Society. — 1985. — Т. 17, вип. 1. — С. 21. — DOI:10.1112/blms/17.1.21.
- Weingartner A. Practical numbers and the distribution of divisors // The Quarterly Journal of Mathematics. — 2015. — Т. 66, вип. 2. — С. 743–758. — arXiv:1405.2585. — DOI:10.1093/qmath/hav006.
- Tables of practical numbers compiled by Giuseppe Melfi.
- Practical Number на PlanetMath.(англ.)
- Weisstein, Eric W. Practical Number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.