Простір T1

Простір ${\displaystyle T_{1}}$ — топологічний простір, що задовольняє одній з найслабших аксіом відокремлюваності ${\displaystyle T_{1}}$. Іноді простори, що задовольняють цій умові також називаються просторами Фреше, але цей термін також використовується в інших значеннях.

Топологічний простір ${\displaystyle X}$ називається простором ${\displaystyle T_{1}}$, якщо для будь-яких двох різних точок ${\displaystyle x,y\in X}$ існує відкрита множина ${\displaystyle U\subseteq X}$, така що ${\displaystyle x\in U}$ але ${\displaystyle y\notin U}$.

Еквівалентно можна дати інші визначення, які разом дають основні властивості просторів:

• Простір ${\displaystyle X}$ є простором ${\displaystyle T_{1}}$ тоді і тільки тоді, коли кожна одноточкова підмножина в ${\displaystyle X}$ є замкнутою.
• Простір ${\displaystyle X}$ є простором ${\displaystyle T_{1}}$ тоді і тільки тоді, коли кожна його скінченна підмножина є замкнутою.
• Простір ${\displaystyle X}$ є простором ${\displaystyle T_{1}}$ тоді і тільки тоді, коли кожна його коскінченна підмножина (доповнення до скінченної підмножини) є відкритою.
• Простір ${\displaystyle X}$ є простором ${\displaystyle T_{1}}$ тоді і тільки тоді, коли кожна його підмножина рівна перетину всіх відкритих підмножин, що її містять.
• Простір ${\displaystyle X}$ є простором ${\displaystyle T_{1}}$ тоді і тільки тоді, коли для кожної його підмножини S і кожної точки ${\displaystyle x\in X\setminus S}$, x є граничною точкою множини S якщо і тільки якщо довільний відкритий окіл точки x містить нескінченну кількість точок з множини S.

• Більшість типових прикладів топологічних просторів є просторами ${\displaystyle T_{1}}$ і простори, що не є ${\displaystyle T_{1}}$ вважаються "дуже патологічними". Прикладами просторів ${\displaystyle T_{1}}$ є зокрема: простір дійсних чисел із звичайною топологією, евклідові простори і, в більш загальному випадку, метричні простору. Кожен дискретний простір є простором ${\displaystyle T_{1}}$; навпаки, кожен скінченний простір ${\displaystyle T_{1}}$ є дискретним.
• Кожен гаусдорфів простір є простором ${\displaystyle T_{1}}$.
• Прикладом простору, що задовольняє аксіому ${\displaystyle T_{1}}$, але не є гаусдорфовим є множина дійсних чисел з топологією де відкритими множинами є доповнення скінченних множин, а також ${\displaystyle \emptyset }$ і весь простір. Іншими важливими прикладами є топологія Зариського для алгебричних многовидів над алгебрично замкнутим полем, а також кокомпактна топологія на множині дійсних чисел.
• Кожен простір ${\displaystyle T_{1}}$ є простором Т₀ , проте є простори ${\displaystyle T_{0}}$, які не є просторами ${\displaystyle T_{1}}$. Наприклад, множина ${\displaystyle X=\{a,b\}}$ з топологією ${\displaystyle \tau _{0}={\big \{}\emptyset ,X,\{a\}{\big \}}}$ є простором ${\displaystyle T_{0}}$, але не ${\displaystyle T_{1}}$. Іншим таким прикладом є топологія перекривних інтервалів. Також спектр кільця із топологією Зариського є простором ${\displaystyle T_{0}}$ але в загальному випадку не є простором ${\displaystyle T_{1}}$.
• Підмножина простору ${\displaystyle T_{1}}$ з індукованою топологією є простором ${\displaystyle T_{1}}$.
• Декартовий добуток просторів ${\displaystyle T_{1}}$ теж є простором ${\displaystyle T_{1}}$.

• Аксіоми відокремлюваності
• Простір Т0
• Гаусдорфів простір

• Gaal, Steven A.(1966), Point set topology, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47222-5 (англ.)