Псевдообернена матриця — узагальнення оберненої матриці в математиці, зокрема, в лінійній алгебрі.
Матриця, псевдообернена до матриці
позначається як
.
Найвідомішим є псевдообернення Мура-Пенроуза, яке було незалежно описано Е. Г. Муром[en] в 1920 і Роджером Пенроузом в 1955.
Раніше, в 1903 році, концепцію псевдообернених інтегруючих операторів представив Фредгольм.
Псевдообернена матриця застосовується для знаходження найкращого наближення (методом найменших квадратів) розв'язку СЛАР.
називається псевдооберненою матрицею до матриці
, якщо вона задовольняє такі умови:
(
чи
не обов'язково дорівнюватимуть одиничній матриці);
![{\displaystyle A^{+}AA^{+}=A^{+};}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d5fbbc63ba351cb3ce4114784aa2a52db560846)
(це означає, що
— ермітова матриця);
(
— також ермітова матриця);
де
— ермітово-спряжена матриця до матриці
.
Визначення Мура-Пенроуза через граничний перехід
[ред. | ред. код]
![{\displaystyle A^{+}=\lim _{\delta \to 0}(A^{*}A+\delta I)^{-1}A^{*}=\lim _{\delta \to 0}A^{*}(AA^{*}+\delta I)^{-1}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/065ec87492360e5e8cc52070b2437531369547bf)
Ці границі існують, навіть якщо
і
не комутують.
- Псевдообернена матриця завжди існує і вона єдина.
- Псевдообернення нульової матриці дорівнює її транспонуванню.
- Псевдообернення є оборотним до самого себе:
.
![{\displaystyle (A^{T})^{+}=(A^{+})^{T},\qquad ({\overline {A}})^{+}={\overline {A^{+}}},\qquad (A^{*})^{+}=(A^{+})^{*}.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e3a049287732040cd0e50b99e64be0167c9f191)
![{\displaystyle rank\ A^{+}=rank\ A}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd785f307ba92ec13ca232f92b1bf0c46ffb1f6c)
- Псевдообернення добутку матриці
на скаляр
дорівнює добутку матриці
на обернене число
:
.
- Якщо вже відома матриця
чи матриця
, то їх можна використати для обчислення
:
![{\displaystyle A^{+}=(A^{*}A)^{+}\;A^{*}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81a569cdc5d58e8b0becf8872971e48007089ae4)
.
- Матриці
— є ортогонально-проєкційними матрицями.
- Якщо матриця
утворена з матриці
за допомогою вставки ще одного нульового рядка/стовпця в і-ту позицію,
- то
буде утворюватись з
додаванням нульового стовпця/рядка в і-ту позицію.
- Якщо рядок/стовпець в попередній процедурі не є нульовим
, то існує формула Гревіля для вираження
через ![{\displaystyle A,\;A^{+},\;a_{i}.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13541ea1f044a8df328bdaa1da9462710984db2b)
- Якщо в матриці
ортонормовані стовпці (
), або рядки (
), то:
.
- Якщо стовпці матриці
лінійно незалежні, тоді матриця
має повний ранг, а отже є оборотною. Тоді:
![{\displaystyle A^{+}=(A^{*}A)^{-1}A^{*}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ece86e25806a0471816ff29e83066ce79dba07a4)
Отже
, звідки слідує, що
— ліва обернена матриця для A.
- Якщо рядки матриці
лінійно незалежні, тоді матриця
має повний ранг, а отже є оборотною. Тоді:
![{\displaystyle A^{+}=A^{*}(AA^{*})^{-1}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ec78ff80ac83984f33587e33e453f00ee681f75)
Отже
, звідки слідує, що
— права обернена матриця для A.
- Якщо і стовпці і рядки лінійно незалежні (що вірно для квадратних невироджених матриць), тоді:
![{\displaystyle A^{+}=A^{-1}.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed9289d2aee87f71bf347a6fdaa55a76a01eae14)
Ці часткові випадки еквівалентні прибиранню доданка
з формули визначення псевдообернення через граничний перехід.
Якщо матриці
і
такі, що добуток
визначений, а також:
- або A має ортонормовані стовпці (
),
- або B має ортонормовані рядки (
),
- або стовпці
лінійно незалежні(
) і рядки
лінійно незалежні(
).
Тоді:
.
Доводиться прямою підстановкою в визначення.
Псевдообернення можна визначити для скалярів і векторів, якщо трактувати їх як матриці:
- Псевдообернення скаляра
є скаляр
![{\displaystyle x^{+}=\left\{{\begin{matrix}0,&x=0;\\x^{-1},&x\neq 0.\end{matrix}}\right.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0990e949aff5d09d2fdcf5911a938276618b2779)
- Псевдообернення вектора
є вектор
![{\displaystyle x^{+}=\left\{{\begin{matrix}0^{T},&x=0;\\{x^{*} \over x^{*}x},&x\neq 0.\end{matrix}}\right.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca360900de6ed82f3718fc7dee39991b99653644)
Дані трактування задовільняють визначення псевдообернення.
Нехай r — ранг матриці A розміру
. Тоді A може бути представлена як
, де B — матриця розміру
, C — матриця розміру
. Тоді
![{\displaystyle A^{+}=C^{*}(CC^{*})^{-1}(B^{*}B)^{-1}B^{*}.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1887aab58632636a18fb48642499a45711eea478)
чи
![{\displaystyle A^{+}=C^{*}(B^{*}AC^{*})^{-1}B^{*}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37e3f7732ba417ba674adeabd6a1571995112469)
- де
— матриця меншого розміру
.
Матрицю A представимо у вигляді
, де Q — унітарна матриця,
, і R — верхня трикутна матриця. Тоді
,
![{\displaystyle A^{+}=(R^{*}R)^{+}A^{*}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f7f1388bae109ce46900aba3cc3a1a7d8ca348e)
…
Якщо
— сингулярне представлення матриці A, тоді
![{\displaystyle A^{+}=V\Sigma ^{+}U^{*}.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d6f63426c7c832bc3e079a7a093637b43c046a2)
Для діагональної матриці, такої як
, псевдообернена матриця обчислюється заміною всіх ненульових значень діагональних елементів на обернені.
Нехай k — ранг матриці A розміру
.
Позначимо через
матрицю складену з k лінійно незалежних стовпців матриці A,
через
позначимо матрицю з k лінійно незалежних рядків матриці A,
через
матрицю з елементів на перетині
з
.
Тоді
![{\displaystyle A^{+}=A_{\overline {k}}^{*}(A_{\overline {k}}A_{\overline {k}}^{*})^{-1}\cdot A_{kk}\cdot (A_{k}^{*}A_{k})^{-1}A_{k}^{*}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f42f94b2ebdc1408dbe1e0965cfff9fa25afeaeb)
- Система рівнянь
може не мати точних розв'язків, але можна знайти приблизні розв'язки — такі
при яких мінімізується
Це розв'язок методом найменших квадратів.
- Загальний розв'язок системи
є сумою часткового розв'язку цієї системи та загального розв'язку однорідної системи ![{\displaystyle \ Ax=0.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b8cf312570107e3a8d37f82c18d7b4175af5531)
- За визначенням, загальний розв'язок системи
— це ядро лінійного оператора
:
![{\displaystyle \ker {A}=Z(A)y\!}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/214ba777aa74e57abdbb240935d9c360673e11c8)
де:
(проектор на
);
— довільний вектор тієї ж розмірності що і ![{\displaystyle x.\!}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2856ac4390b686c5b9e173d9267bc879ccff6ff3)
- Частковим розв'язком неоднорідної системи є
він ортогональний до
і тому має найменшу норму серед всіх розв'язків.
|
єдиний розв'язок
|
множина розв'язків
|
точні розв'язки є
|
|
|
тільки приблизні розв'язки
|
- Відстань від довільної точки
до множини розв'язків
рівна:
![{\displaystyle \|P(A)(y-A^{+}b)\|=\|P(A)y-A^{+}b\|=\|A^{+}(Ay-b)\|,}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/431404969328df990bec3dce800bdd69f8dd29ab)
де:
(проектор ортогональний до
).