Ціле число Ейзенштейна
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a8/Eisenstein_integer_lattice.png/191px-Eisenstein_integer_lattice.png)
В математиці Ціле число Ейзенштейна (також відоме, як ціле число Ейлера) це комплексне число виду
де a і b — цілі числа,
комплексний кубічний корінь з одиниці.
Цілі числа Ейзенштейна утворюють комутативне кільце цілих алгебраїчних чисел у круговому полі Q(ω). Вони є цілими алгебраїчними числами оскільки число z = a + bω є коренем многочлена
Зокрема, ω задовольняє рівняння
Норма цілих чисел Ейзенштейна рівна
Відповідно норма є цілим числом. Оскільки
норма ненульового числа є додатною.
Група одиниць (оборотних елементів) даного кільця це циклічна група коренів шостого степеня з одиниці. Елементами цієї групи є
- {±1, ±ω, ±ω2}
Якщо x і y — цілі числа Ейзенштейна, то x ділить y якщо існує ціле число Ейзенштейна z що y = z x.
Необоротне ціле число Ейзенштейна x називається простим, якщо всі його дільники мають вид ux де u є одним з шести оборотних чисел.
Звичайне просте число рівне 3 чи рівне 1 за модулем 3 має вигляд x2 − xy + y2 для деяких цілих чисел x, y і тому може бути розкладене в добуток (x + ωy)(x + ω2y) і, як наслідок не є простим числом Ейзенштейна.
Кожне ціле число Ейзенштейна a + bω норма якого a2 − ab + b2 є звичайним простим числом, є простим числом Ейзенштейна. Кожне просте число Ейзенштейна або записується у цьому виді, або є добутком оборотного елемента і звичайного простого числа рівного 2 за модулем 3.
Кільце цілих чисел Ейзенштейна є евклідовим кільцем з нормою N , визначається
Це можна довести таким чином:
- Eisenstein Integer--from MathWorld [Архівовано 15 грудня 2020 у Wayback Machine.]