若曲面上的一點P，其第一、二基本形式成比例，則稱P點為曲面的臍點(umbilical point)。若第二基本形式為零，則稱為平點，否則稱為圓點。在臍點處總曲率K=H2(H為平均曲率)，兩個主曲率相等，任何方向均為主方向。每點均為臍點的曲面(稱為全臍點曲面)必為平面或球面。
基本介紹
- 中文名：臍點
- 外文名：umbilical point
- 所屬學科：數學（微分幾何學）
- 分類：圓點，平點
- 相關概念：法曲率，第一、二基本量/形式等
基本介紹,法曲率與臍點,
基本介紹
臍點(umbilical point)是曲面上的一類特殊點，它是第一基本形式與第二基本形式成比例的點，若曲面在某一點處的第一、二類基本量適合
法曲率與臍點
法曲率是曲面理論的一個核心概念。
設
於是對於臍點，(1)式中為常數，且對任何方向都成立，自然對於參數曲線方向亦成立，對
線顯然有
反之，若(2)式成立，則當
時，顯然對任何方向均有。若
不全為零，不妨設
，於是令
，則有
定理 曲面上一點為臍點的充要條件是
由上述定理的證明過程可以看到，平點是臍點中的一種。
我們又稱L、M、N不全為零的臍點為圓點。球面上的點皆為圓點，而且可以證明其逆也成立，從而有：一個曲面為球面或球面一部分的充要條件是其上的每一點都是圓點。對於圓點，如上不妨令
