用蘋果嚟表示
3
+
2
=
5
{\displaystyle 3+2=5}
。[1]
加 係數學 運算 一種,一般習慣會用「
+
{\displaystyle +}
」呢個符號嚟表達,呢個符號又叫做「加號 」。加法係四個基本算術 運算嘅其中一個(其餘係減 、乘 同除 )。
加法係將兩個量加埋做一個量嚟表示嘅運算。意指將兩組嘅量合併做一組嘅意思。假設左面有
3
{\displaystyle 3}
個蘋果,右面有
2
{\displaystyle 2}
個蘋果,將呢兩個量合併一齊,就總共有
5
{\displaystyle 5}
個���果。利用數學式嚟表達,就係
3
+
2
=
5
{\displaystyle 3+2=5}
。(講法係,三加二等於 五。)而兩個數加埋得到嗰個數就叫做「和」(Sum)。
加法除咗係日常生活數下物件之外,喺數學上,可以處理整數 、有理數 、實數 、虛數 、向量 、矩陣 等數學物件。而日常生活嘅加法,係可以應到任何算術,例如分數 加法、有向數 等,但係去高等數學加法未必係日常加法。
如果利用高等數學嘅角度嚟睇,加法呢個處理有幾個重要嘅代數 性質,例如係可溝通性(Commutative),即係話處理加法嘅次序唔影響結果;結合性(Associative),即係話處理多幾個數字,個次序都唔影響結果。又例如話,當你係到數緊物品嘅時候,其實你係進行緊加法,不停咁喺度加
1
{\displaystyle 1}
。加法嘅相反係減法 。如果不停咁加
n
{\displaystyle n}
咁多次,咁就係一個乘法 。
加法係最簡單嘅數字運算,基本上加法係好多有智慧嘅生物都可以處理,例如世界上最簡單嘅加法
1
+
1
{\displaystyle 1+1}
,係簡單到連一個五個月大嘅小朋友或者非人類嘅生物都會識做。喺小學 階段,基本上人人都會由十進制 嘅加法學起,再去學解決其他進階嘅難題。而電腦科學 家就研究點樣令到電腦 做到加法。
加號(Plus Sign)
基本加法,又叫做日常加法 (Usual Addition),係日常用到嘅加法。一般應用係數物件同算術 。加法一般習慣用「
+
{\displaystyle +}
」,即係「加號 (Plus Sign)」嚟表示。呢個符號一般會放喺兩個數字之間[2] ,用作將呢兩樣嘢加埋嘅意思,呢個表達方法叫做中綴表示法 。例如:
1
+
1
=
2
{\displaystyle 1+1=2}
。例外有前綴表示法 同後綴表示法 。而「
+
{\displaystyle +}
」,等於 (Equal Sign)就係將個結果表示出嚟。而個結果一般就會叫做「和」。
1
+
1
=
2
{\displaystyle 1+1=2}
(一加一等於二)
2
+
2
=
4
{\displaystyle 2+2=4}
(二加二等於四)
3
+
3
=
6
{\displaystyle 3+3=6}
(三加三等於六)
1
+
2
+
3
+
4
=
10
{\displaystyle 1+2+3+4=10}
(結合性)
2
+
2
+
2
+
2
+
2
=
10
{\displaystyle 2+2+2+2+2=10}
(乘法 )
好多時,熟習咗加法 同乘法 之後,有好多人會將
3
+
3
=
6
{\displaystyle 3+3=6}
寫成
3
+
3
=
9
{\displaystyle 3+3=9}
,咁樣就計錯數。
有好多人慣咗加法之後,就唔會寫加號 嚟表示加法。
直式加法:
5
+
12
=
17
{\displaystyle 5+12=17}
例如做直式加法嘅時候,好多人都懶得去寫個加號去表示佢做緊加法。好似右邊幅圖咁,將
5
{\displaystyle 5}
同
12
{\displaystyle 12}
並排好加好之後得出
17
{\displaystyle 17}
。明顯,係做加法,但係都無見過加號嘅出現。
喺分數 入面,帶分數 就係一個偷懶嘅例子[3] ,例如:
1
2
3
{\displaystyle 1{\frac {2}{3}}}
,就係指
1
{\displaystyle 1}
加
2
3
{\displaystyle {\frac {2}{3}}}
。有人話呢個表達方式好容易同乘法混淆[4] 。
喺高等數學入面,連續加埋同一舊嘢寫出嚟都幾麻煩,所以就有咗級數 呢樣嘢。級數係可以表達一個有套路有規律嘅加法。例如:
∑
i
=
1
n
i
=
1
+
2
+
3
+
⋯
+
n
=
n
(
n
+
1
)
2
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i=1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}}
(呢個又叫三角形數 )。日常生活都有好多偷懶嘅例子,例如帳單、月結單。上面都係無加號,但係大家都知道係做緊加法。
將要處理加法嘅嘢就叫做項(Term),例如
1
+
1
=
2
{\displaystyle 1+1=2}
,
1
{\displaystyle 1}
就係項。喺級數入面
i
{\displaystyle i}
就係項。英文項有幾個叫法「Terms」、「Addends」、「Summands」。有人叫第一個項做「Augend」。喺文藝復興 時期,好多人都唔覺得第一個項係項。而到今時今日,都無咩人去分第一個項定係第二個項,總知大家都係項,冇再分得咁細。
「加」,根據粵語審音配詞字庫 ,讀「gaa1」或者「gaa3」。說文解字 解釋,「加:語相增加也。從力從口。古牙切」原指講嘢假,加鹽加醋。之後演變到有增加嘅意思。喺兩漢之間,周髀算經 已經有講解四則運算。
而英文嘅加法用字基本上都嚟自拉丁文 。英文「Addition」係源自拉丁文動詞「Addere」,呢個字係「加去」同「比」嘅合字。而「Sum」就係源自「Summare」,係一個名詞指嘅係「最高,最勁」,因為兩個數相加,係一定大過之前嗰兩個數,但係呢個概念引用到古希臘 同古羅馬 人,但係到咗現代加法係可以加返轉頭,個數愈加愈細。
加號「
+
{\displaystyle +}
」係拉丁文 「et」嘅簡寫,意思係「add」。佢早喺1489年,已經出現喺當時嘅有關數學嘅文章入面。
利用圖案表示
4
+
2
=
2
+
4
{\displaystyle 4+2=2+4}
加法係可溝通嘅,即係話進行加法嘅次序唔影響加法嘅結果。利用數學式表示就係:
a
+
b
=
b
+
a
{\displaystyle a+b=b+a}
咁
a
{\displaystyle a}
同
b
{\displaystyle b}
都係一個數字。
呢個法則又叫做「加法嘅溝通法」。但係同時,有好多其他嘅二元運算 唔係可溝通嘅,例如:減法 ,除法 ,矩陣乘法。
用圖片表示
2
+
(
1
+
3
)
=
(
2
+
1
)
+
3
{\displaystyle 2+(1+3)=(2+1)+3}
加法係可以結合嘅。當你要加兩個到三個,或者有限咁多個,
n
{\displaystyle n}
咁多個數字嘅時候,做加法嘅次序唔會影響結果。如果有三個數字
a
{\displaystyle a}
,
b
{\displaystyle b}
同
c
{\displaystyle c}
要加嘅時候,用數學式嘅表達係
(
a
+
b
)
+
c
{\displaystyle (a+b)+c}
,先做
a
+
b
{\displaystyle a+b}
,得出結果後再做
+
c
{\displaystyle +c}
。但係呢個出嚟嘅結果係會同先做
b
+
c
{\displaystyle b+c}
,再做
a
+
{\displaystyle a+}
係一樣。得出結論係:
(
a
+
b
)
+
c
=
a
+
(
b
+
c
)
{\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}
舉個實例,
2
+
(
1
+
3
)
=
2
+
4
=
6
=
3
+
3
=
(
2
+
1
)
+
3
{\displaystyle 2+(1+3)=2+4=6=3+3=(2+1)+3}
。
但係當你做四則運算嘅時候,加法嘅次序就會有所影響。加法多數都係最後會做嘅處理。
利用圖案表達
5
+
0
=
5
{\displaystyle 5+0=5}
。
所謂嘅恆等元,就係一粒嘢,你令佢嚟同另一粒嘢做加法,出嚟個結果係不變。
如果根據呢個講法,好明顯
0
{\displaystyle 0}
就係日常加法嘅恆等元。因為咩嘢加零,個數值都係唔變。利用數學式表示就係:
a
+
0
=
0
+
a
=
a
{\displaystyle a+0=0+a=a}
而
a
{\displaystyle a}
就係任何數字。例子:
5
+
0
=
5
{\displaystyle 5+0=5}
,就好似右手面張圖咁,一個袋入面有
5
{\displaystyle 5}
粒嘢,另一個袋入面無嘢,將兩個個袋入面嘅嘢加埋一齊,都係得
5
{\displaystyle 5}
粒嘢。
呢個性質早喺公元前628年,由婆羅摩笈多 發明。當時佢喺著作Brahmasphutasiddhanta 呢本書入面將以上嘅性質用正數、負數同零用自己文字表達一次,而唔係用現代嘅代數表達方式講出嚟。去到830年左右,另一個印度 數學家 馬哈費亞 (Mahavira)將個概念再寫多一次,佢話:「零加任何嘢都係加佢嗰嚿嘢。」換句話講即係
0
+
a
=
a
{\displaystyle 0+a=a}
。到咗12世紀,印度數學家婆什迦羅二世 又話:「如果用加法嚟睇,加零,減零,無論係正數加,負數加,都係一樣。」換句話講即係
a
+
0
=
a
{\displaystyle a+0=a}
。
如果做日常加法,單位唔同係唔可以加埋一齊。舉個例子,
3
{\displaystyle 3}
蚊同
3
{\displaystyle 3}
毫大家都係錢,但係就唔可以將佢加埋做
6
{\displaystyle 6}
蚊,
6
{\displaystyle 6}
毫或者係
6
{\displaystyle 6}
蚊毫。但係就可以加埋之後寫成
3.3
{\displaystyle 3.3}
(單位:元,讀三個三)。換一個例子:
6
{\displaystyle 6}
個橙加
8
{\displaystyle 8}
個橙就會得出
14
{\displaystyle 14}
個橙;但係
8
{\displaystyle 8}
個橙加
9
{\displaystyle 9}
個蘋果就一定要寫成
17
{\displaystyle 17}
個生果。
同樣,進行實質物品或者距離上嘅加法,物品或者個數字嘅單位係必須要一致。例如:
1
{\displaystyle 1}
厘米同
1
{\displaystyle 1}
厘米可以相加,但係同
1
{\displaystyle 1}
毫米就唔可以。如果想將佢哋兩個相加,就必須要將兩個數嘅單位換成一樣,例如將
1
{\displaystyle 1}
厘米換成
10
{\displaystyle 10}
毫米,或者將
1
{\displaystyle 1}
毫米換成
0.1
{\displaystyle 0.1}
厘米。詳細可以參考物理嘅量度分析 (Dimensional Analysis)。
喺1992年,美國 心理學家 Karen Wynn 做咗一個基礎實驗,佢將一班BB仔帶到去螢幕前面,而呢班BB仔就用螢幕顯示嘅米奇老鼠 公仔去進行加法實驗,而呢個實驗證明咗一個五個月大嘅BB仔個腦入面係期望住
1
+
1
{\displaystyle 1+1}
係會等於
2
{\displaystyle 2}
。最令人覺得出奇嘅係,喺呢個實驗入面,科學家係將個情況整到好似
1
+
1
{\displaystyle 1+1}
係會等於
1
{\displaystyle 1}
或者
3
{\displaystyle 3}
。
另一個實驗,就用咗一班大啲嘅BB仔,約莫18到35個月大,佢哋用係箱抽乒乓球呢個實驗發現,呢班BB仔入面最細嗰個,可以做到簡單數字上嘅加法,而最大嗰班就可以做到
5
{\displaystyle 5}
以下嘅加法。
唔係人類嘅生物都會識得做加法,最出名嘅例子就有靈長類動物 。喺1995年就有一個模仿1992年嗰次實驗嘅實驗,佢哋用茄子 代替公仔,有兩類猿可以做到同人類BB仔相似程度嘅加法。有人教咗一隻黑猩猩 阿拉伯數目字 嘅
0
{\displaystyle 0}
到
4
{\displaystyle 4}
,之後呢隻黑猩猩唔使人教,就自己識做兩個數字嘅加法。最近,有發現亞洲象 都識做簡單加法。
基本上,BB仔多數都係識數嘢先。一般嚟講,佢哋被要求將兩樣或者三樣嘢合埋一齊嗰時,班BB會趨向用睇得到嘅方法或者物質上嘅方法去處理呢個問題,例如係話數手指,畫畫咁。當佢地開始適應用數數嗰時,佢哋會直接由嗰一個數開始,再用手指數,例如:直接就三數起:「三、四、五」。而呢個都係最自然嘅學習加法嘅技巧,因為呢個方法係好容易由同伴或者老師嗰度學返嚟。當啲BB仔熟習咗用加法之後,佢哋可以從記憶中嘅結果入面抽出嚟,再運用個結果做加法。例如:佢地熟悉左
6
+
6
=
12
{\displaystyle 6+6=12}
,之後當佢哋要做
6
+
7
{\displaystyle 6+7}
嗰時,佢哋會知到用
6
+
6
=
12
{\displaystyle 6+6=12}
再加
1
{\displaystyle 1}
上去就得出個答案
13
{\displaystyle 13}
。呢類型嘅技巧運用,好多小學生都已經係根深柢固,好自然就做到加法。
唔同國家都會教BB仔加法,但係教加法嘅年紀都唔同,有啲國家幼稚園就已經教加法,有啲就係小學教。但係基本上,全世界嘅小朋友讀到小學一年級已經識得做加法。
BB仔一般都要用到加法表嚟學加法,利用加法表可以令佢哋容易啲記到
1
{\displaystyle 1}
到
10
{\displaystyle 10}
嘅加法。
1
{\displaystyle 1}
嘅加法
1
+
0
=
1
{\displaystyle 1+0=1}
1
+
1
=
2
{\displaystyle 1+1=2}
1
+
2
=
3
{\displaystyle 1+2=3}
1
+
3
=
4
{\displaystyle 1+3=4}
1
+
4
=
5
{\displaystyle 1+4=5}
1
+
5
=
6
{\displaystyle 1+5=6}
1
+
6
=
7
{\displaystyle 1+6=7}
1
+
7
=
8
{\displaystyle 1+7=8}
1
+
8
=
9
{\displaystyle 1+8=9}
1
+
9
=
10
{\displaystyle 1+9=10}
1
+
10
=
11
{\displaystyle 1+10=11}
2
{\displaystyle 2}
嘅加法
2
+
0
=
2
{\displaystyle 2+0=2}
2
+
1
=
3
{\displaystyle 2+1=3}
2
+
2
=
4
{\displaystyle 2+2=4}
2
+
3
=
5
{\displaystyle 2+3=5}
2
+
4
=
6
{\displaystyle 2+4=6}
2
+
5
=
7
{\displaystyle 2+5=7}
2
+
6
=
8
{\displaystyle 2+6=8}
2
+
7
=
9
{\displaystyle 2+7=9}
2
+
8
=
10
{\displaystyle 2+8=10}
2
+
9
=
11
{\displaystyle 2+9=11}
2
+
10
=
12
{\displaystyle 2+10=12}
3
{\displaystyle 3}
嘅加法
3
+
0
=
3
{\displaystyle 3+0=3}
3
+
1
=
4
{\displaystyle 3+1=4}
3
+
2
=
5
{\displaystyle 3+2=5}
3
+
3
=
6
{\displaystyle 3+3=6}
3
+
4
=
7
{\displaystyle 3+4=7}
3
+
5
=
8
{\displaystyle 3+5=8}
3
+
6
=
9
{\displaystyle 3+6=9}
3
+
7
=
10
{\displaystyle 3+7=10}
3
+
8
=
11
{\displaystyle 3+8=11}
3
+
9
=
12
{\displaystyle 3+9=12}
3
+
10
=
13
{\displaystyle 3+10=13}
4
{\displaystyle 4}
嘅加法
4
+
0
=
4
{\displaystyle 4+0=4}
4
+
1
=
5
{\displaystyle 4+1=5}
4
+
2
=
6
{\displaystyle 4+2=6}
4
+
3
=
7
{\displaystyle 4+3=7}
4
+
4
=
8
{\displaystyle 4+4=8}
4
+
5
=
9
{\displaystyle 4+5=9}
4
+
6
=
10
{\displaystyle 4+6=10}
4
+
7
=
11
{\displaystyle 4+7=11}
4
+
8
=
12
{\displaystyle 4+8=12}
4
+
9
=
13
{\displaystyle 4+9=13}
4
+
10
=
14
{\displaystyle 4+10=14}
5
{\displaystyle 5}
嘅加法
5
+
0
=
5
{\displaystyle 5+0=5}
5
+
1
=
6
{\displaystyle 5+1=6}
5
+
2
=
7
{\displaystyle 5+2=7}
5
+
3
=
8
{\displaystyle 5+3=8}
5
+
4
=
9
{\displaystyle 5+4=9}
5
+
5
=
10
{\displaystyle 5+5=10}
5
+
6
=
11
{\displaystyle 5+6=11}
5
+
7
=
12
{\displaystyle 5+7=12}
5
+
8
=
13
{\displaystyle 5+8=13}
5
+
9
=
14
{\displaystyle 5+9=14}
5
+
10
=
15
{\displaystyle 5+10=15}
6
{\displaystyle 6}
嘅加法
6
+
0
=
6
{\displaystyle 6+0=6}
6
+
1
=
7
{\displaystyle 6+1=7}
6
+
2
=
8
{\displaystyle 6+2=8}
6
+
3
=
9
{\displaystyle 6+3=9}
6
+
4
=
10
{\displaystyle 6+4=10}
6
+
5
=
11
{\displaystyle 6+5=11}
6
+
6
=
12
{\displaystyle 6+6=12}
6
+
7
=
13
{\displaystyle 6+7=13}
6
+
8
=
14
{\displaystyle 6+8=14}
6
+
9
=
15
{\displaystyle 6+9=15}
6
+
10
=
16
{\displaystyle 6+10=16}
7
{\displaystyle 7}
嘅加法
7
+
0
=
7
{\displaystyle 7+0=7}
7
+
1
=
8
{\displaystyle 7+1=8}
7
+
2
=
9
{\displaystyle 7+2=9}
7
+
3
=
10
{\displaystyle 7+3=10}
7
+
4
=
11
{\displaystyle 7+4=11}
7
+
5
=
12
{\displaystyle 7+5=12}
7
+
6
=
13
{\displaystyle 7+6=13}
7
+
7
=
14
{\displaystyle 7+7=14}
7
+
8
=
15
{\displaystyle 7+8=15}
7
+
9
=
16
{\displaystyle 7+9=16}
7
+
10
=
17
{\displaystyle 7+10=17}
8
{\displaystyle 8}
嘅加法
8
+
0
=
8
{\displaystyle 8+0=8}
8
+
1
=
9
{\displaystyle 8+1=9}
8
+
2
=
10
{\displaystyle 8+2=10}
8
+
3
=
11
{\displaystyle 8+3=11}
8
+
4
=
12
{\displaystyle 8+4=12}
8
+
5
=
13
{\displaystyle 8+5=13}
8
+
6
=
14
{\displaystyle 8+6=14}
8
+
7
=
15
{\displaystyle 8+7=15}
8
+
8
=
16
{\displaystyle 8+8=16}
8
+
9
=
17
{\displaystyle 8+9=17}
8
+
10
=
18
{\displaystyle 8+10=18}
9
{\displaystyle 9}
嘅加法
9
+
0
=
9
{\displaystyle 9+0=9}
9
+
1
=
10
{\displaystyle 9+1=10}
9
+
2
=
11
{\displaystyle 9+2=11}
9
+
3
=
12
{\displaystyle 9+3=12}
9
+
4
=
13
{\displaystyle 9+4=13}
9
+
5
=
14
{\displaystyle 9+5=14}
9
+
6
=
15
{\displaystyle 9+6=15}
9
+
7
=
16
{\displaystyle 9+7=16}
9
+
8
=
17
{\displaystyle 9+8=17}
9
+
9
=
18
{\displaystyle 9+9=18}
9
+
10
=
19
{\displaystyle 9+10=19}
10
{\displaystyle 10}
嘅加法
10
+
0
=
10
{\displaystyle 10+0=10}
10
+
1
=
11
{\displaystyle 10+1=11}
10
+
2
=
12
{\displaystyle 10+2=12}
10
+
3
=
13
{\displaystyle 10+3=13}
10
+
4
=
14
{\displaystyle 10+4=14}
10
+
5
=
15
{\displaystyle 10+5=15}
10
+
6
=
16
{\displaystyle 10+6=16}
10
+
7
=
17
{\displaystyle 10+7=17}
10
+
8
=
18
{\displaystyle 10+8=18}
10
+
9
=
19
{\displaystyle 10+9=19}
10
+
10
=
20
{\displaystyle 10+10=20}
第一步學十進制加法嘅係先學十位數加法,再到百位數(三位數)。當人習慣呢套加法嗰時,佢哋就會悟出下面呢套加法規則,令到自己更快做到加法:
可溝通性:
a
+
b
=
b
+
a
{\displaystyle a+b=b+a}
,咁如果利用加法表學加法,原本要背
100
{\displaystyle 100}
條加法式,而家就只需要背
55
{\displaystyle 55}
條。
淨係加
1
{\displaystyle 1}
同
2
{\displaystyle 2}
:淨係加
1
{\displaystyle 1}
或者
2
{\displaystyle 2}
對人嚟講係好自然,基本上唔使背都會識得做。
零:因為
10
{\displaystyle 10}
係恆等元,加咗佢即係無加過嘢,對好多人嚟講都係廢。
乘二:一個數自己相加,變相係乘二,如果學習埋乘法,多數人會直接跳用乘法,而唔用加法。
好似乘二:如果兩個數係好近,例如:
6
+
7
{\displaystyle 6+7}
同
6
+
5
{\displaystyle 6+5}
,一般會將個數乘二再減返個差,睇返個例子,就會將
6
×
2
+
1
=
12
+
1
=
13
{\displaystyle 6\times 2+1=12+1=13}
,
6
×
2
−
1
=
12
−
1
=
11
{\displaystyle 6\times 2-1=12-1=11}
。
利用
10
{\displaystyle 10}
:例如:
6
+
7
{\displaystyle 6+7}
,就可以將佢寫成
10
+
3
{\displaystyle 10+3}
,咁就會計快啲。
當人愈大,處理加法嘅速度會係相應加快。
基本多位數嘅加法,會利用到直式嚟幫助。直式係會將兩個要相加嘅數,根據佢哋個位排好,由右到左,最右面係個位數,之後到十位數,再到百位數,如似類推。之後,逄十進一。個一就會帶落去下一個位。舉個例,
27
+
59
{\displaystyle 27+59}
就可以表達出進位呢個概念。
¹
27
+ 59
————
86
如果睇
7
+
9
=
16
{\displaystyle 7+9=16}
呢個例子,個
1
{\displaystyle 1}
就係進咗位後嘅數。除咗呢個基本加法方法之外,重有好多其他方法去做加法。例如:直接由左面加起,再估計出兩個數字相加大約係幾多。
小數點加法基本上同上面所介紹嘅加法係差唔多。利用直式,將兩個數字打直並排,但係今次注意係兩個數字要以小數點做中心對位。如果有需要可以「補零」去幫助做加法。之後就可以跟住上面方法加法。
舉個例,將
45.1
+
4.34
{\displaystyle 45.1+4.34}
:
4 5 . 1 0
+ 0 4 . 3 4
————————————
4 9 . 4 4
喺呢個例子入面,補咗一個零喺45.1後面,變成45.10,之後先至開始計加數。
利用指數記數法,又叫科學記數法,數字會寫到為最簡約嘅方式,將數字分開一半,一半係有效數字,另一半係以
10
{\displaystyle 10}
為基數嘅次方表達。如果呢個次方表達係一樣嘅話兩個數就可以就咁加或者減。
例子:
2.4
×
10
5
{\displaystyle 2.4\times 10^{5}}
同
6.89
×
10
5
{\displaystyle 6.89\times 10^{5}}
就可以直接相加,變成
9.29
×
10
5
{\displaystyle 9.29\times 10^{5}}
。
但係
2.4
×
10
5
{\displaystyle 2.4\times 10^{5}}
同
68.9
×
10
4
{\displaystyle 68.9\times 10^{4}}
就唔可以直接相���,要將
68.9
×
10
4
{\displaystyle 68.9\times 10^{4}}
寫成
6.89
×
10
5
{\displaystyle 6.89\times 10^{5}}
,先可以相加。
除咗十進制之外,重有二進制,八進制同埋十六進制。如果用呢幾個進制,都可以進行到加法,而且步驟同上面嘅差唔多,只不過係由逢十進一變逢二進一或逢八、逢十六。
如果學電腦科學 嘅話,轉換二進制係一定要識,以下呢個表可以幫助轉十進制去二進制:
128
64
32
16
8
4
2
1
0
10000000
1000000
100000
10000
1000
100
10
1
0
以上呢個表都可以幫助做二進制嘅加法。
二進制就逢二進一。
舉個例:
1
2
+
1
2
=
10
2
{\displaystyle 1_{2}+1_{2}=10_{2}}
101010
2
+
110101
2
=
1011111
2
{\displaystyle 101010_{2}+110101_{2}=1011111_{2}}
用加法之前,一定要證明呢個加法係完美定義(Well-define)好。因為喺數學嘅世界,加法未必一定係日常加法。加法最早係應用喺自然數(
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
)。喺集合論 入面,加法係將個集整大嘅一個處理,例如用自然數整整數(
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
)、有理數(
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
)同實數(
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
)。喺數學教育同埋數學史 入面,正分數 係早出現過負數 。
加法最早係應用喺自然數入面。有兩個定義自然數加法嘅方法。第一個係利用集嘅基數(基數即係個集入面有幾多嚿嘢)嚟做定義。另一個,比較接近日常加法。
如果自然數係用嚟做一個有限集 嘅基數,即係話集
A
{\displaystyle A}
嘅基數係
1
{\displaystyle 1}
,
B
{\displaystyle B}
嘅基數係
2
{\displaystyle 2}
。佢哋兩個嘅加法可以咁定義:
「設
N
(
S
)
{\displaystyle N(S)}
做集
S
{\displaystyle S}
嘅基數。咁兩個唔相交集
A
,
B
{\displaystyle A,B}
,
N
(
A
)
=
a
,
N
(
B
)
=
b
{\displaystyle N(A)=a,N(B)=b}
,嘅聯合
a
+
b
{\displaystyle a+b}
,就係
N
(
A
∪
B
)
{\displaystyle N(A\cup B)}
。」
A
∪
B
{\displaystyle A\cup B}
就係兩個集
A
{\displaystyle A}
同
B
{\displaystyle B}
嘅聯合 。另一個版本嘅定義,可以接受呢兩個集係有相交,咁個定義嘅處理手法就會先將兩個集相交嘅嘢整走先,再將兩個集聯合,咁就可以避免將相交嘅嘢重覆咁計。
Grothendieck嘅整數加法表示。
最簡單嘅整數概念就係絕對值 或者係自然數 ,再加多一個正負號(正號或者負號)。整數零係一個特別嘅存在,佢又唔係正數又唔係負數。係整數入面嘅加法就按照下面嘅定義:
「對應任何整數
n
{\displaystyle n}
,
|
n
|
{\displaystyle |n|}
係佢嘅絕對值 。同時,
a
{\displaystyle a}
同
b
{\displaystyle b}
係整數。如果
a
{\displaystyle a}
或者
b
{\displaystyle b}
係零,咁就當佢係恆等元(Identity)。如果
a
{\displaystyle a}
同
b
{\displaystyle b}
都係正數,咁定義
a
+
b
=
|
a
|
+
|
b
|
{\displaystyle a+b=|a|+|b|}
。如果
a
{\displaystyle a}
同
b
{\displaystyle b}
都係負數,咁
a
+
b
=
−
(
|
a
|
+
|
b
|
)
{\displaystyle a+b=-(|a|+|b|)}
。如果
a
{\displaystyle a}
同
b
{\displaystyle b}
係唔同正負,咁就要定義
a
+
b
{\displaystyle a+b}
做
|
a
|
{\displaystyle |a|}
同
|
b
|
{\displaystyle |b|}
之差,之後邊一個絕對值大啲,咁佢嗰個正負號,就係答案嘅正負號。」
舉個例子,如果有
−
2
{\displaystyle -2}
同
5
{\displaystyle 5}
,咁
−
2
+
5
{\displaystyle -2+5}
就係
|
5
|
−
|
−
2
|
=
|
5
|
−
|
2
|
=
3
{\displaystyle |5|-|-2|=|5|-|2|=3}
,因為
|
5
|
>
|
−
2
|
{\displaystyle |5|>|-2|}
,所以個答案係
3
{\displaystyle 3}
。如果有
−
10
{\displaystyle -10}
同
5
{\displaystyle 5}
,咁
−
10
+
5
{\displaystyle -10+5}
就係
|
−
10
|
−
|
5
|
=
10
−
5
=
5
{\displaystyle |-10|-|5|=10-5=5}
,因為
|
−
10
|
>
|
5
|
{\displaystyle |-10|>|5|}
,所以個答案係
−
5
{\displaystyle -5}
。
用呢個方法定義加法對一啲簡單嘅方法係可以,但一去到複雜少少嘅問題,呢個定義有多可能性要考慮,就會令到成件事變得更加複雜。
比較常用或者方便嘅定義方法,就係利用高分迪群(Grothendieck Group)呢個結構去定義加法。呢個常用嘅定義,係用一個好基本法則,就係每一個整數都可以寫成兩個自然數之差,呢個寫法唔係獨有,即係
−
1
=
2
−
3
{\displaystyle -1=2-3}
同時
−
1
=
1
−
2
{\displaystyle -1=1-2}
。因此,整數可以定義為兩個自然數之差,加法又可以兼容埋減法:
「有兩個整數
a
−
b
{\displaystyle a-b}
同
c
−
d
{\displaystyle c-d}
,
a
,
b
,
c
,
d
{\displaystyle a,b,c,d}
都係自然數。定義
(
a
−
b
)
+
(
c
−
d
)
=
(
a
+
c
)
−
(
b
+
d
)
{\displaystyle (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d)}
」
有理數,即係分數。兩個分數需要分母一樣先可以相加,如果分母唔相同,咁就唔可以直接相加。
例子:
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
同
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{3}}}
分母唔一樣,所以唔可以直接相加。
例子:
5
6
{\displaystyle {\frac {5}{6}}}
同
1
6
{\displaystyle {\frac {1}{6}}}
分母一樣,可以直接相加,得出
6
6
=
1
{\displaystyle {\frac {6}{6}}=1}
。
如果兩個分數分母唔相同,咁就需要通分母。通分母嘅意思係將兩個分數嘅分母變成一樣。因為將分子同分母同樣乘大同一個數字,佢嘅數值係冇變,一般通分母會利用最小公倍數 去處理。以
7
9
{\displaystyle {\frac {7}{9}}}
同
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
做例,
9
{\displaystyle 9}
同
2
{\displaystyle 2}
嘅最小公倍數係
18
{\displaystyle 18}
,所以;
7
9
+
1
2
=
7
×
2
9
×
2
+
1
×
9
2
×
9
=
14
18
+
9
18
=
14
+
9
18
=
23
18
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {7}{9}}+{\frac {1}{2}}&={\frac {7\times 2}{9\times 2}}+{\frac {1\times 9}{2\times 9}}\\&={\frac {14}{18}}+{\frac {9}{18}}\\&={\frac {14+9}{18}}\\&={\frac {23}{18}}\end{aligned}}}
將以下情況用代數表示,可以得出有理數加法嘅定義:
「
a
b
+
c
d
=
a
d
+
b
c
b
d
{\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}}
」
舉個例子:
3
5
+
2
3
=
3
×
3
+
5
×
2
3
×
5
=
9
+
10
15
=
19
15
{\displaystyle {\frac {3}{5}}+{\frac {2}{3}}={\frac {3\times 3+5\times 2}{3\times 5}}={\frac {9+10}{15}}={\frac {19}{15}}}
將虛數當做向量咁整。
虛數嘅加法係將實嘅部分相加,虛嘅部分相加,所以可以咁樣定義:
「
(
a
+
b
i
)
+
(
c
+
d
i
)
=
(
a
+
c
)
+
(
b
+
d
)
i
{\displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}
」
其實虛數可以利用向量嚟做一個幾何上表達。將實部分當做橫軸(x-axis),虛部分當做縱軸(y-axis),就好似右面幅圖咁表達出任何兩個虛數相加。而喺幾何上面,右面呢個係一個平行四邊形 。如果將藍、紅、紫嘅箭嘴嘅頭叫做
A
,
B
,
C
{\displaystyle A,B,C}
,個尾叫做
O
{\displaystyle O}
,咁
△
O
A
B
{\displaystyle \bigtriangleup OAB}
係全等於
△
C
B
A
{\displaystyle \bigtriangleup CBA}
。呢個都係其中一個虛數平面上面嘅性質。
有好多二元運算 都可以當做實數 加法嘅伸展,或者係類似實數嘅加法。喺抽象代數 入面,代數場 就係呢啲所謂嘅加法嘅伸展,同時佢哋都會喺集合論 同埋表示論 出現。
喺線性代數 入面,一個向量空間 係一種代數結構。喺呢個空間入面,兩支唔同嘅向量同埋有啲數字可以互相加埋一齊或者乘埋一齊嘅。同向量加法、乘法 好似嘅重有實數坐禁加法,一個坐禁
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
就係一支喺
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
平面上面嘅向量,同時佢係呢個平面嘅中心。兩支向量嘅加可以咁樣定義:
「
(
a
,
b
)
+
(
c
,
d
)
=
(
a
+
c
,
b
+
d
)
{\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}
」
兩個矩陣要做到加法唯一嘅條件係需要有同一個「形狀」(Dimension),即係話,行同列嘅數量都要一樣。兩個
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
嘅矩陣
A
{\displaystyle A}
同
B
{\displaystyle B}
相加之後,會用
A
+
B
{\displaystyle A+B}
表示,都係一個
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
矩陣,做法係將對應位置嘅數字相加:
「
A
+
B
=
[
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
a
m
2
⋯
a
m
n
]
+
[
b
11
b
12
⋯
b
1
n
b
21
b
22
⋯
b
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
b
m
1
b
m
2
⋯
b
m
n
]
=
[
a
11
+
b
11
a
12
+
b
12
⋯
a
1
n
+
b
1
n
a
21
+
b
21
a
22
+
b
22
⋯
a
2
n
+
b
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
+
b
m
2
a
m
2
+
b
m
2
⋯
a
m
n
+
b
m
n
]
{\displaystyle A+B={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m2}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}}}
」
舉個例:
[
1
2
3
4
]
+
[
2
3
4
5
]
=
[
3
5
7
9
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2&3\\4&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&5\\7&9\end{bmatrix}}}
喺商數學 入面,將整數
mod
12
{\displaystyle {\text{mod }}12}
之後嗰個集就最多只有
12
{\displaystyle 12}
嚿嘢,咁佢入面就會有一個加法,而對應喺音樂入面,五線譜 嘅音符都有類似嘅加法。如果將整數
mod
2
{\displaystyle {\text{mod }}2}
,得出一個得兩嚿嘢嘅集,
{
0
,
1
}
{\displaystyle \{0,1\}}
,咁佢入面嘅加法就同邏輯代數 入面嘅Exclusive or 一樣。喺幾何學 入面,兩個角度相加,就係一定係實數入面
mod
2
π
{\displaystyle {\text{mod }}2\pi }
入面嘅嘢。
喺基本嘅抽象代數入面,一個集入面嘅加法多數都係可溝通性同結合性。例子有:阿標群 。
將兩個集合埋。
加法可以將集合併,呢個都係加法入面最簡單嘅功能。
「當有兩個或以上咁多集要合併成一個,得出嗰一個集就會有之前咁多個集總和咁多樣剐。」
呢個句子好容易就可以用圖案嚟黎表示,就好似右手面張圖咁。兩個集,各自有
3
{\displaystyle 3}
同
2
{\displaystyle 2}
咁多嚿嘢,合併完之後個集就有
5
{\displaystyle 5}
嚿嘢。但係用圖案表示有機會會出錯,所以去到高等數學,一個嚴謹定義加法嘅方法,可以推到好多好勁嘅數學結果出嚟,就好似上面嘅自然數 定義。同時,有咗呢個定義,去推出分數或者負數嘅加法唔係一件容易嘅事。
原來係
2
{\displaystyle 2}
咁長,而家伸展多
4
{\displaystyle 4}
咁多,咁總共就有
6
{\displaystyle 6}
咁長。
另一個加法嘅功能就係伸長個距離:
「當一條嘢俾人加長,咁佢個總長度就係原本咁多再加伸長咗咁多。」
用代數嘅角度睇,
a
+
b
{\displaystyle a+b}
嘅和,喺二元運算入面就係將
a
{\displaystyle a}
同
b
{\displaystyle b}
合併埋一齊。用另一個角度睇,
a
+
b
{\displaystyle a+b}
可以理解做加
a
{\displaystyle a}
咁多嘢落
b
{\displaystyle b}
嗰到。
↑ From Enderton (p. 138): "...select two sets K and L with card K = 2 and card L = 3. Sets of fingers are handy; sets of apples are preferred by textbooks."
↑ "Addition" . www.mathsisfun.com . 喺2020-08-25 搵到 .
↑ Devine et al. p. 263
↑ Mazur, Joseph. Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers . Princeton University Press, 2014. p. 161