間距

間距（Interval）係數學入面嘅一個概念。因為實數（${\displaystyle \mathbb {R} }$）有排序性，所以可以分出一類子集叫做間距。間距喺研究數學分析入面係好重要嘅工具。

• 無界間距（Open Interval）${\displaystyle (a,b):=\{x\in \mathbb {R} :a<x<b\}}$
• 有界間距（Closed Interval）${\displaystyle [a,b]:=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x\leq b\}}$

而${\displaystyle a}$同${\displaystyle b}$係叫做界點（End Points）。重有其他一半有界有半無界嘅間距，同埋有啲無限無界間距同無限有界間距：

• 半有界半無界間距（Half-open / Half-closed）${\displaystyle (a,b],[a,b)}$
• 無限無界間距（Infinite Open Intervals）${\displaystyle (a,\infty ):=\{x\in \mathbb {R} :x>a\},(-\infty ,b):=\{x\in \mathbb {R} :x<b\}}$
• 無限有界間距（Infinite Closed Intervals）${\displaystyle [a,\infty ):=\{x\in \mathbb {R} :x\geq a\},(-\infty ,b]:=\{x\in \mathbb {R} :x\leq b\}}$

成立間距定理（Characterisation Theorem）係一條講佢間距嘅特性，同埋點樣成立一個間距。

如果${\displaystyle S}$係${\displaystyle \mathbb {R} }$嘅實子集，同時${\displaystyle S}$最少有兩點，佢又符合以下性質

「如果${\displaystyle x,y\in S}$同埋${\displaystyle x<y}$，咁樣${\displaystyle [x,y]\subseteq S}$。」

，${\displaystyle S}$就係一個間距。

證明：

需要證明四個唔同嘅分類。

• ${\displaystyle S}$係被綁定。
• ${\displaystyle S}$係被上面綁住，但係下面無。
• ${\displaystyle S}$係被下面綁住，但係上面無。
• ${\displaystyle S}$係無被綁定。

${\displaystyle S}$係被綁定

設${\displaystyle a:=\inf S}$同${\displaystyle b:=\inf S}$，之後將${\displaystyle S\subseteq [a,b]}$，需要證明出${\displaystyle (a,b)\subseteq S}$。

如果${\displaystyle a<z<b}$，咁${\displaystyle z}$就唔係${\displaystyle S}$嘅下界限。因此，咁就有一個${\displaystyle x\in S}$符合${\displaystyle x<z}$。

同時，${\displaystyle z}$都唔係${\displaystyle S}$嘅上界限，所以有一個${\displaystyle y\in S}$符合${\displaystyle z<y}$。

所以，${\displaystyle z\in [x,y]}$。

利用上面「」入面嘅性質，得知${\displaystyle z\in S}$。

因為${\displaystyle z}$係任意一點，所以${\displaystyle (a,b)\subseteq S}$。

如果${\displaystyle a\in S}$同埋${\displaystyle b\in S}$，咁${\displaystyle S=[a,b]}$。

如果${\displaystyle a\notin S}$同埋${\displaystyle b\notin S}$，咁${\displaystyle S=(a,b)}$。

如果${\displaystyle a\in S}$同埋${\displaystyle b\notin S}$，咁${\displaystyle S=[a,b)}$。

如果${\displaystyle a\notin S}$同埋${\displaystyle b\in S}$，咁${\displaystyle S=(a,b]}$。

${\displaystyle S}$係被上面綁住，但係下面無。

假設${\displaystyle b:=\sup S}$，咁${\displaystyle S\subseteq (-\infty ,b]}$。需要證明${\displaystyle (-\infty ,b]\subseteq S}$。

如果有點${\displaystyle z<b}$，咁就會有兩點${\displaystyle x,y\in S}$令到${\displaystyle [x,y]\subseteq S}$。

因為${\displaystyle z\in (-\infty ,b]}$，所以${\displaystyle [x,y]\in (-\infty ,b]}$。

如果${\displaystyle b\in S}$，${\displaystyle S=(-\infty ,b]}$。

如果${\displaystyle b\notin S}$，${\displaystyle S=(-\infty ,b)}$。

其他做法都係差唔多。

如果一串間距（sequence of intervals）${\displaystyle I_{n},n\in \mathbb {N} }$，係循環間距。咁${\displaystyle I_{n}}$就符合以下性質：$${\displaystyle I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq I_{3}\supseteq I_{4}\supseteq \cdots \supseteq I_{n}\supseteq I_{n+1}\supseteq \cdots }$$

如果${\displaystyle I_{n}=[a_{n},b_{n}],n\in \mathbb {N} }$係一個循環綁定間距，咁就會有一個數${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$，對應所有既${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$符合${\displaystyle \xi \in I_{n}}$。

證明：