在數學中,我們可以構造任意李代數
的泛包絡代數
。李代數一般並非結合代數,但泛包絡代數則是帶乘法單位元的結合代數。李代數的表示理論可以理解為其泛包絡代數的表示理論。在幾何上,泛包絡代數可以解釋為李群上的左不變微分算子。
以下固定域
。首先注意到:對任意帶乘法單位元的
-結合代數
,定義括積
,可視
為李代數。
泛包絡代數係指帶單位元的結合代數
及一個指定的李代數同態
。這對資料由下述泛性質刻劃:
對任意帶乘法單位元的
-結合代數
, 若存在李代數同態
。
則存在唯一的代數同態
![{\displaystyle g:U(L)\to A}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/539348b26a71b33afb2aa5c00db1739b2acb9035)
使之滿足
![{\displaystyle g\circ i=h}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26562efa39d74e9b452b7b11d8924fa17f0e8abd)
換言之,函子
滿足下述關係:
![{\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mbox{Alg.}}(U(L),A){\stackrel {\sim }{\to }}\mathrm {Hom} _{\mbox{Lie alg.}}(L,A)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2821ce73168504fdc5b55cd13872f0b950c6d41)
![{\displaystyle g\mapsto g\circ i}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4c4f594c493b0afa9c1ad99e4050001351514eb)
藉此,可視
為
(單位結合代數)
(李代數)的左伴隨函子。
首先考慮張量代數
,此時有自然的包含映射
。取
為下列元素生成的雙邊理想
![{\displaystyle a\otimes b-b\otimes a-[a,b]\quad (a,b\in L)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f3388596e662faff81034f3773fd256a3bc182d)
定義
![{\displaystyle U(L):=T(L)/I}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2609e25dc6afa99a719a1722bc21f2281ad2b86c)
所求的映射
為
與商映射的合成。容易驗證
保存李括積。
根據上述構造,可直接驗證所求的泛性質。
- 若
可交換,則
亦然;此時
同構於多項式代數。
- 若
來自李群
,則
可理解為
上的左不變微分算子。
的中心
顯然包含
,但不僅如此,通常還包括更高階的元素,例如喀希米爾元素;這種元素給出李群上的拉普拉斯算子。
庞加莱-伯克霍夫-维特定理是泛包絡代數的根本定理之一。取定有限維李代數
的基
,此定理斷言
![{\displaystyle X_{1}^{e_{1}}\cdots X_{n}^{e_{n}}\quad (e_{1},\ldots ,e_{n}\in \mathbb {Z} _{\geq 0})}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/984b910a3bcf5caae8f532b658903dad2e06cc56)
是
的基。此定理的直接推論是:
為單射。
在泛性質中取
,其中
為任意向量空間,遂可等同
的表示與
的表示,後者不外是
-模。藉此觀點,李代數表示理論可視為模論的一支。
群代數之於群表示一如泛包絡代數之於李代數的表示。兩者都具有霍普夫代數結構。
- Dixmier, Jacques, Enveloping algebras. Revised reprint of the 1977 translation. Graduate Studies in Mathematics, 11. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996. xx+379 pp. ISBN 0-8218-0560-6