數學上,矩阵或有界線性算子的谱半径(spectral radius)是其特徵值絕對值中的最大值(也就是矩阵的谱中元素絕對值中的最小上界),會表示為ρ(·)。
令λ1, ..., λn是矩陣A ∈ Cn×n中的特徵值,則其谱半径 ρ(A) is 定義為:
![{\displaystyle \rho (A)=\max \left\{|\lambda _{1}|,\dotsc ,|\lambda _{n}|\right\}.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61b0c999c62441fe1ba0b9d9417fa3be1fdab500)
的条件数可以用譜半徑表示,公式為
。
譜半徑是矩陣所有範數的一種下确界(infimum)。另一方面,
對每一個矩陣範數
都成立,Gelfand公式指出
。不過,針對任意向量
,譜半徑不一定會滿足
。若要說明原因,可以令
為任意數,考慮矩陣
。
的特徵多項式是
,因此其特徵值為
,且
。不過
,因此
,其中
是
上的任何
範數。至於可以當
時,讓
的原因是
,因此當
時,使
。
針對所有![{\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76ec979c424038c32de798e4e8df563b101971d5)
成立的條件是
為埃尔米特矩阵及
為欧几里得範數。
有限图的谱半径定義為其邻接矩阵的谱半径。
此一定義可以擴散到無限圖,但是其每個頂點都只連接有限個頂點(存在一實數C使得每一個頂點的度都小於C)。此情形下,針對圖G可定義:
![{\displaystyle \ell ^{2}(G)=\left\{f:V(G)\to \mathbf {R} \ :\ \sum \nolimits _{v\in V(G)}\left\|f(v)^{2}\right\|<\infty \right\}.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e359480a4632e7dcac4a2a2294988bfc21e6a323)
令γ是 G的邻接算子:
![{\displaystyle {\begin{cases}\gamma :\ell ^{2}(G)\to \ell ^{2}(G)\\(\gamma f)(v)=\sum _{(u,v)\in E(G)}f(u)\end{cases}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aff7e21734cd824cadcc94af00f8ae20e5b04f4b)
G的谱半径定義為有界線性算子γ的谱半径。
以下的命題指出了一個簡單但是有用的矩陣譜半徑上界:
命題:令A ∈ Cn×n,其譜半徑為ρ(A),以及相容(Consistent)矩陣範數 ||⋅||。則針對每一個整數
:
![{\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5948b4c79b0501742f0cf832f2d8b4415f3680c6)
證明
令(v, λ)為矩陣A的特徵值-特徵向量對。利用矩陣範數的次可乘性(sub-multiplicative property),可得:
![{\displaystyle |\lambda |^{k}\|\mathbf {v} \|=\|\lambda ^{k}\mathbf {v} \|=\|A^{k}\mathbf {v} \|\leq \|A^{k}\|\cdot \|\mathbf {v} \|}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4b1c00c142ef9d33f61fa1e532484ba75c2ed4c)
因為v ≠ 0,可得
![{\displaystyle |\lambda |^{k}\leq \|A^{k}\|}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/915c9e417c93eff4d6a011f688ce277be523572b)
因此
![{\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5948b4c79b0501742f0cf832f2d8b4415f3680c6)
有關n個頂點,m個邊的圖,有許多的譜半徑的上界公式。例如,若
![{\displaystyle {\frac {(k-2)(k-3)}{2}}\leq m-n\leq {\frac {k(k-3)}{2}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef7c60c8e0b260f1c2fa24593dbb3c3d33c7585d)
其中
為整數,則[1] :
![{\displaystyle \rho (G)\leq {\sqrt {2m-n-k+{\frac {5}{2}}+{\sqrt {2m-2n+{\frac {9}{4}}}}}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3695c33b5fd533e59066170f12441deb455b1309)
谱半径和矩陣乘幂數列是否收斂有緊密的關係。以下的定理會成立:
- 定理:令A ∈ Cn×n,其譜半徑ρ(A)。則ρ(A) < 1若且唯若
![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }A^{k}=0.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbd953d9f7bba9cc3bbb7478e9df9abcc195d759)
- 另一方面,若ρ(A) > 1,
。上述敘述針對Cn×n上的任何矩陣範數都有效。
假設問題中的極限值為零,可以證明ρ(A) < 1。令(v, λ)為A的特征值和特征向量對。因為Akv = λkv可得:
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left(\lim _{k\to \infty }A^{k}\right)\mathbf {v} \\&=\lim _{k\to \infty }\left(A^{k}\mathbf {v} \right)\\&=\lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\mathbf {v} \\&=\mathbf {v} \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\end{aligned}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9769d44c287bc2c4c502cad4ca6a1913ae735e2b)
因為假設v ≠ 0,會得到
![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}=0}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45f4737182faa5a052d3e5e094f2542c7d9e8308)
表示|λ| < 1。因為這對任何一個特征值都會成立,因此可知ρ(A) < 1。
接下來假設A的譜半徑小於1。根據若尔当标准型定理,可以知道針對所有的A ∈ Cn×n,存在V, J ∈ Cn×n以及非奇異的V和J分塊對角矩陣使得:
![{\displaystyle A=VJV^{-1}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f74aab06e275e435d889d94c3c901bbeaf77c574)
而
![{\displaystyle J={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27088ccfc3c25faaf88d2a95c72bfcf160d9ec98)
其中
![{\displaystyle J_{m_{i}}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}&1&0&\cdots &0\\0&\lambda _{i}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}&1\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}\end{bmatrix}}\in \mathbf {C} ^{m_{i}\times m_{i}},1\leq i\leq s.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f2ed741d3cebe597a512a5f3cc184abd1da84ab)
因此可得
![{\displaystyle A^{k}=VJ^{k}V^{-1}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24cb703fbd219bb1fe8fa9a41370aac5dfc64185)
因為J是分塊對角矩陣
![{\displaystyle J^{k}={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}^{k}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}^{k}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}^{k}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}^{k}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21a2d2009069d49fbfdbb54c4e2ba604fc8f6a4b)
而
若尔当方塊矩陣k次方可以得到,針對
:
![{\displaystyle J_{m_{i}}^{k}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&{k \choose 2}\lambda _{i}^{k-2}&\cdots &{k \choose m_{i}-1}\lambda _{i}^{k-m_{i}+1}\\0&\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&\cdots &{k \choose m_{i}-2}\lambda _{i}^{k-m_{i}+2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}^{k}\end{bmatrix}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38992a13c6b8f28661f8d60dd818bddf9eae7a1a)
因此,若
,則針對所有的i,
都會成立。因此針對所有的i,可得:
![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }J_{m_{i}}^{k}=0}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e6d24970f358c5c62ad86f9ff7ed7542ded682)
這也表示
![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }J^{k}=0.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68c605e409044a42d950b5d1286b5e62c2e5af88)
因此
![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }A^{k}=\lim _{k\to \infty }VJ^{k}V^{-1}=V\left(\lim _{k\to \infty }J^{k}\right)V^{-1}=0}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17df9b1d1b91b23c819e4977f9af77c0e973e9bd)
另一方面,若
,當k增加時,在J中至少有一個元素無法維持有界,因此證明了定理的第二部份。
以下的定理可以用[矩陣範數的極限來計算T谱半径
- 定理(Gelfand公式,1941年):令任何矩陣範數 ||⋅||,,可得
[2].
令任意ε > 0,先建構以下二個矩陣:
![{\displaystyle A_{\pm }={\frac {1}{\rho (A)\pm \varepsilon }}A.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01c498c3e7a7977fb58932ab430b3596f09bf258)
則:
![{\displaystyle \rho \left(A_{\pm }\right)={\frac {\rho (A)}{\rho (A)\pm \varepsilon }},\qquad \rho (A_{+})<1<\rho (A_{-}).}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/138ed25cffd7f41e1ea24c25e085f272994fc56e)
先將之前的定理應用到A+:
![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }A_{+}^{k}=0.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b6c57cfc5821fdad422446a9a5b74790526e419)
這表示,根據級數極限定理,一定存在N+ ∈ N使得針對所有的k ≥ N+,下式都成立
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A_{+}^{k}\right\|<1\end{aligned}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a967e74cf0a4c3a2b814172260cf2eb3960c45c9)
因此
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon .\end{aligned}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19514d2d31b5f0ee26c18be646b42821286270dc)
將之前的定理用在A−,表示
無界,一定存在N− ∈ N使得針對所有的k ≥ N−,下式都成立
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A_{-}^{k}\right\|>1\end{aligned}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abd7ee1182d0767bd583e6ac40c4abbadcfe5c47)
因此
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}>\rho (A)-\varepsilon .\end{aligned}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48b3fe0f0a5d2d130e95bbf877c93598525a41ff)
令N = max{N+, N−},,可得:
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbf {N} \quad \forall k\geq N\quad \rho (A)-\varepsilon <\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon }](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daeecc82b47805c3f0fbd645cbc1276ecae6518b)
因此,依定義,可得下式
![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}=\rho (A).}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9936065e911f6aabe455940b3b9d5401a2a18936)
考慮以下矩陣
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}9&-1&2\\-2&8&4\\1&1&8\end{bmatrix}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dae8150bc3547234fec48b47eceaef02b231a4db)
其中的特徵值為5, 10, 10。依照定義,ρ(A) = 10。在以下的表中,會以四個最常用的矩陣範式,在k增加時,計算
(注意,因為此矩陣特殊的形式,
):
k
|
|
|
|
1
|
14
|
15.362291496
|
10.681145748
|
2
|
12.649110641
|
12.328294348
|
10.595665162
|
3
|
11.934831919
|
11.532450664
|
10.500980846
|
4
|
11.501633169
|
11.151002986
|
10.418165779
|
5
|
11.216043151
|
10.921242235
|
10.351918183
|
|
|
|
|
10
|
10.604944422
|
10.455910430
|
10.183690042
|
11
|
10.548677680
|
10.413702213
|
10.166990229
|
12
|
10.501921835
|
10.378620930
|
10.153031596
|
|
|
|
|
20
|
10.298254399
|
10.225504447
|
10.091577411
|
30
|
10.197860892
|
10.149776921
|
10.060958900
|
40
|
10.148031640
|
10.112123681
|
10.045684426
|
50
|
10.118251035
|
10.089598820
|
10.036530875
|
|
|
|
|
100
|
10.058951752
|
10.044699508
|
10.018248786
|
200
|
10.029432562
|
10.022324834
|
10.009120234
|
300
|
10.019612095
|
10.014877690
|
10.006079232
|
400
|
10.014705469
|
10.011156194
|
10.004559078
|
|
|
|
|
1000
|
10.005879594
|
10.004460985
|
10.001823382
|
2000
|
10.002939365
|
10.002230244
|
10.000911649
|
3000
|
10.001959481
|
10.001486774
|
10.000607757
|
|
|
|
|
10000
|
10.000587804
|
10.000446009
|
10.000182323
|
20000
|
10.000293898
|
10.000223002
|
10.000091161
|
30000
|
10.000195931
|
10.000148667
|
10.000060774
|
|
|
|
|
100000
|
10.000058779
|
10.000044600
|
10.000018232
|
針對有界線性算子 A 及算子范数 ||·||,可以得到
![{\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13bdb3190872973abc2e2f01049c80fca5970cc0)
(複數希爾伯特空間上的)有界算子若其谱半径等於數值半徑,可以稱為「譜算子」(spectraloid operator)。其中一個例子是正规算子。
- Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob, Linear operators II. Spectral Theory: Self Adjoint Operators in Hilbert Space, Interscience Publishers, Inc., 1963
- Lax, Peter D., Functional Analysis, Wiley-Interscience, 2002, ISBN 0-471-55604-1