微分几何 中,辛流形 是装备了闭 非退化 2-形式 ω的光滑流形 M ,ω称为辛形式 。辛流形的研究称为辛几何 或辛拓扑 。辛流形作为经典力学 和分析力学 中流形的余切丛 自然出现,例如在经典力学的哈密顿表述 中(这该领域的主要动机之一),系统所有可能构型的空间可以用流形建模,流形的余切丛描述了该系统的相空间 。
一个辛流形上的任何实值可微函数H 可以用作一个能量函数 或者叫哈密顿量 。和任何一个哈密顿量相关有一个哈密顿向量场 ;该哈密顿向量场的积分曲线 是哈密顿-雅可比方程 的解。哈密顿向量场定义了辛流形上的一个流场,称为哈密顿流场 或者叫辛同胚 。根据刘维尔定理 ,哈密顿流保持相空间的体积形式不变。
辛流形来自经典力学 ,是封闭系统相空间 的推广。[ 1] 哈密顿方程 可从微分方程 组推导系统的时间演化,辛形式也可从哈密顿函数H 的微分dH 得到描述系统流的向量场 。[ 2] 因此需要线性映射
T
M
→
T
∗
M
{\displaystyle TM\rightarrow T^{*}M}
,从切流形
T
M
{\displaystyle TM}
到余切流形
T
∗
M
{\displaystyle T^{*}M}
;或等价地,
T
∗
M
⊗
T
∗
M
{\displaystyle T^{*}M\otimes T^{*}M}
的元素。令
ω
{\displaystyle \omega }
表示
T
∗
M
⊗
T
∗
M
{\displaystyle T^{*}M\otimes T^{*}M}
的截面 ,
ω
{\displaystyle \omega }
非退化 的要求确保了对每个微分
d
H
{\displaystyle dH}
,都有唯一对应的向量场
V
H
{\displaystyle V_{H}}
使
d
H
=
ω
(
V
H
,
⋅
)
{\displaystyle dH=\omega (V_{H},\cdot )}
。由于我们希望哈密顿量沿流线是常值,所以应有
ω
(
V
H
,
V
H
)
=
d
H
(
V
H
)
=
0
{\displaystyle \omega (V_{H},V_{H})=dH(V_{H})=0}
,说明
ω
{\displaystyle \omega }
是交替形式,因此是2形式。最后,我们要求
ω
{\displaystyle \omega }
在流线作用下不变,即
ω
{\displaystyle \omega }
沿
V
H
{\displaystyle V_{H}}
的李导数 为零。应用嘉当同伦公式 ,这相当于(此处
ι
X
{\displaystyle \iota _{X}}
表示内积 ):
L
V
H
(
ω
)
=
0
⇔
d
(
ι
V
H
ω
)
+
ι
V
H
d
ω
=
d
(
d
H
)
+
d
ω
(
V
H
)
=
d
ω
(
V
H
)
=
0
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{V_{H}}(\omega )=0\;\Leftrightarrow \;\mathrm {d} (\iota _{V_{H}}\omega )+\iota _{V_{H}}\mathrm {d} \omega =\mathrm {d} (\mathrm {d} \,H)+\mathrm {d} \omega (V_{H})=\mathrm {d} \omega (V_{H})=0}
这样,当对不同光滑函数H 重复这过程,使相应的
V
H
{\displaystyle V_{H}}
在每点上张成切空间,便能发现任意光滑的H 对应的
V
H
{\displaystyle V_{H}}
流的李导数为零,等同于说ω 是闭 的。
光滑流形M 上的辛形式 是闭非退化微分2形式
ω
{\displaystyle \omega }
。[ 3] [ 4] 当中,非退化是指对每个点
p
∈
M
{\displaystyle p\in M}
,由
ω
{\displaystyle \omega }
定义的切空间
T
p
M
{\displaystyle T_{p}M}
中的斜对称对非退化。也就是说,若
∃
X
∈
T
p
M
{\displaystyle \exists X\in T_{p}M}
,使得
ω
(
X
,
Y
)
=
0
,
∀
Y
∈
T
p
M
{\displaystyle \omega (X,Y)=0,\ \forall Y\in T_{p}M}
,则
X
=
0
{\displaystyle X=0}
。奇数维度下,斜对称矩阵 总是奇异的,所以
ω
{\displaystyle \omega }
非退化意味着M 只能是偶数维。[ 3] [ 4] 闭条件意味着
ω
{\displaystyle \omega }
的外导数 为零。辛流形 是一对
(
M
,
ω
)
{\displaystyle (M,\omega )}
,其中M 是光滑流形,
ω
{\displaystyle \omega }
是辛形式。赋予M 以辛形式,称作赋予M 辛结构 。
从定义可以直接得到每个辛流形M 都是偶数维2n ,这是因为
ω
n
{\displaystyle \omega ^{n}}
是无处为0的形式,辛体积形式 。由此可以得到,每个辛流形是有一个标准的定向 的,并且有一个标准的测度 ,刘维尔测度 (经常重整为
ω
n
/
n
!
{\displaystyle \omega ^{n}/n!}
)。
令
{
v
1
,
…
,
v
2
n
}
{\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{2n}\}}
为
R
2
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}
的基,在其上定义辛形式ω :
ω
(
v
i
,
v
j
)
=
{
1
j
−
i
=
n
with
1
⩽
i
⩽
n
−
1
i
−
j
=
n
with
1
⩽
j
⩽
n
0
otherwise
{\displaystyle \omega (v_{i},v_{j})={\begin{cases}1&j-i=n{\text{ with }}1\leqslant i\leqslant n\\-1&i-j=n{\text{ with }}1\leqslant j\leqslant n\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
这样,辛形式简化为二次型 。用
I
n
{\displaystyle I_{n}}
表示n 阶单位矩阵 ,则二次型矩阵Ω将由2n 阶方阵给出:
Ω
=
(
0
I
n
−
I
n
0
)
.
{\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}}.}
令Q 为n 维光滑流形,则余切丛
T
∗
Q
{\displaystyle T^{*}Q}
的总空间具有自然辛形式,称作庞加莱2形式,或正规辛形式
ω
=
∑
i
=
1
n
d
p
i
∧
d
q
i
{\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq^{i}}
其中
(
q
1
,
…
,
q
n
)
{\displaystyle (q^{1},\ldots ,q^{n})}
是Q 上的任意局部坐标,
(
p
1
,
…
,
p
n
)
{\displaystyle (p_{1},\ldots ,p_{n})}
是关于切向量
d
q
1
,
…
,
d
q
n
{\displaystyle dq^{1},\ldots ,dq^{n}}
的纤维坐标。余切丛是经典力学的自然相空间 。区分上下索引的关键在于流形有没有度量张量 ,黎曼流形 就是这种情况。上下索引在坐标系变换下进行反变与协变变换。“关于切向量的纤维坐标”是说,动量
p
i
{\displaystyle p_{i}}
与速度
d
q
i
{\displaystyle dq^{i}}
“焊接 ”在一起,表达了速度与动量共线的概念,并相差标量因子。
凯勒流形 是具有相容可积复结构的辛流形,构成一类特殊的复流形 ,复代数几何 中有一大类例子。光滑复射影簇
V
⊂
C
P
n
{\displaystyle V\subset \mathbb {CP} ^{n}}
都有辛形式,是射影空间
C
P
n
{\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}
上的富比尼–施图迪形式 的限制。
具有与
ω
{\displaystyle \omega }
相容的殆复结构的黎曼流形 称作殆复流形 ,推广了凯勒流形,因为其不一定可积 。也就是说,它们不一定来自流形上的复结构。
辛流形
(
M
,
ω
)
{\displaystyle (M,\omega )}
的子流形 有几个自然的几何概念:
M 的辛子流形 (可能是任意偶数维)是子流形
S
⊂
M
{\displaystyle S\subset M}
,且
ω
|
S
{\displaystyle \omega |_{S}}
是S 上的辛形式。
迷向子流形 是辛形式限制为零的子流形,即切空间都是环境流形切空间的迷向子空间 。同样,若子流形的切子空间都是余迷向的(迷向子空间的对偶),则子流形也称作余迷向 的。
辛流形
(
M
,
ω
)
{\displaystyle (M,\omega )}
的拉格朗日子流形 是辛形式
ω
{\displaystyle \omega }
对
L
⊂
M
{\displaystyle L\subset M}
的限制为等于零的子流形,即
ω
|
L
=
0
,
dim
L
=
1
2
dim
M
{\displaystyle \omega |_{L}=0,\ {\text{dim }}L={\tfrac {1}{2}}\dim M}
。拉格朗日子流形是最大迷向子流形。
辛同胚 的图像在积辛流形
(
M
×
M
,
ω
×
−
ω
)
{\displaystyle (M\times M,\ \omega \times -\omega )}
上是拉格朗日子流形。其交显示出光滑流形所不具备的刚性,阿诺德猜想 给出了子流形的贝蒂数 之和作为光滑拉格朗日子流形自交数的下界,而非光滑情形下的欧拉示性数 。
令
R
x
,
y
2
n
{\displaystyle \mathbb {R} _{{\textbf {x}},{\textbf {y}}}^{2n}}
有全局坐标
(
x
1
,
…
,
x
n
,
y
1
,
…
,
y
n
)
{\displaystyle (x_{1},\dotsc ,x_{n},y_{1},\dotsc ,y_{n})}
,则可将
R
x
,
y
2
n
{\displaystyle \mathbb {R} _{{\textbf {x}},{\textbf {y}}}^{2n}}
赋以规范辛形式
ω
=
d
x
1
∧
d
y
1
+
⋯
+
d
x
n
∧
d
y
n
.
{\displaystyle \omega =\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} y_{1}+\dotsb +\mathrm {d} x_{n}\wedge \mathrm {d} y_{n}.}
有
R
x
n
→
R
x
,
y
2
n
{\displaystyle \mathbb {R} _{\mathbf {x} }^{n}\to \mathbb {R} _{\mathbf {x} ,\mathbf {y} }^{2n}}
给出的标准拉格朗日子流形。形式
ω
{\displaystyle \omega }
在
R
x
n
{\displaystyle \mathbb {R} _{\mathbf {x} }^{n}}
为零,因为给定任一对切向量
X
=
f
i
(
x
)
∂
x
i
,
Y
=
g
i
(
x
)
∂
x
i
,
{\displaystyle X=f_{i}({\textbf {x}})\partial _{x_{i}},Y=g_{i}({\textbf {x}})\partial _{x_{i}},}
都有
ω
(
X
,
Y
)
=
0.
{\displaystyle \omega (X,Y)=0.}
考虑
n
=
1
{\displaystyle n=1}
情形,则
X
=
f
(
x
)
∂
x
,
Y
=
g
(
x
)
∂
x
,
ω
=
d
x
∧
d
y
{\displaystyle X=f(x)\partial _{x},\ Y=g(x)\partial _{x},\ \omega =\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}
。注意,把它展开时
ω
(
X
,
Y
)
=
ω
(
f
(
x
)
∂
x
,
g
(
x
)
∂
x
)
=
1
2
f
(
x
)
g
(
x
)
(
d
x
(
∂
x
)
d
y
(
∂
x
)
−
d
y
(
∂
x
)
d
x
(
∂
x
)
)
{\displaystyle \omega (X,Y)=\omega (f(x)\partial _{x},g(x)\partial _{x})={\frac {1}{2}}f(x)g(x)(\mathrm {d} x(\partial _{x})\mathrm {d} y(\partial _{x})-\mathrm {d} y(\partial _{x})\mathrm {d} x(\partial _{x}))}
项都有因子
d
y
(
∂
x
)
{\displaystyle \mathrm {d} y(\partial _{x})}
,由定义等于0。
流形的余切丛局部建模在与第一例类似的空间上。可以证明,我们可以粘合这些仿射辛形式,因此该丛形成了辛流形。拉格朗日子流形的一个不太平凡的例子是流形余切丛的零截面。例如,令
X
=
{
(
x
,
y
)
∈
R
2
:
y
2
−
x
=
0
}
.
{\displaystyle X=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y^{2}-x=0\}.}
然后可以把
T
∗
X
{\displaystyle T^{*}X}
表为
T
∗
X
=
{
(
x
,
y
,
d
x
,
d
y
)
∈
R
4
:
y
2
−
x
=
0
,
2
y
d
y
−
d
x
=
0
}
{\displaystyle T^{*}X=\{(x,y,\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)\in \mathbb {R} ^{4}:y^{2}-x=0,2y\mathrm {d} y-\mathrm {d} x=0\}}
其中我们将符号
d
x
,
d
y
{\displaystyle \mathrm {d} x,\mathrm {d} y}
视作
R
4
=
T
∗
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}=T^{*}\mathbb {R} ^{2}}
的坐标。可以考虑坐标
d
x
=
0
{\displaystyle \mathrm {d} x=0}
、
d
y
=
0
{\displaystyle \mathrm {d} y=0}
的子集,从而得到零截面。这个例子可重复用于由光滑函数
f
1
,
…
,
f
k
{\displaystyle f_{1},\dotsc ,f_{k}}
及其微分
d
f
1
,
…
,
d
f
k
{\displaystyle \mathrm {d} f_{1},\dotsc ,df_{k}}
的零轨迹(vanishing locus)定义的流形。
考虑坐标为
(
q
1
,
…
,
q
n
,
p
1
,
…
,
p
n
)
{\displaystyle (q_{1},\dotsc ,q_{n},p_{1},\dotsc ,p_{n})}
的规范空间
R
2
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}
。
R
2
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}
的参数子流形是由坐标
(
u
1
,
…
,
u
n
)
{\displaystyle (u_{1},\dotsc ,u_{n})}
参数化的曲面,使
q
i
=
q
i
(
u
1
,
…
,
u
n
)
p
i
=
p
i
(
u
1
,
…
,
u
n
)
{\displaystyle q_{i}=q_{i}(u_{1},\dotsc ,u_{n})\quad p_{i}=p_{i}(u_{1},\dotsc ,u_{n})}
若拉格朗日括号
[
u
i
,
u
j
]
,
∀
i
,
j
{\displaystyle [u_{i},\ u_{j}],\ \forall i,\ j}
都为零,则是拉格朗日子流形。即,是拉格朗日子流形的等价条件是
∀
i
,
j
,
[
u
i
,
u
j
]
=
∑
k
∂
q
k
∂
u
i
∂
p
k
∂
u
j
−
∂
p
k
∂
u
i
∂
q
k
∂
u
j
=
0
{\displaystyle \forall i,\ j,\ [u_{i},\ u_{j}]=\sum _{k}{\frac {\partial q_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial p_{k}}{\partial u_{j}}}-{\frac {\partial p_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial q_{k}}{\partial u_{j}}}=0}
这可以通过在拉格朗日子流形L 的条件中展开
∂
∂
u
i
=
∂
q
k
∂
u
i
∂
∂
q
k
+
∂
p
k
∂
u
i
∂
∂
p
k
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial u_{i}}}={\frac {\partial q_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q_{k}}}+{\frac {\partial p_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{k}}}}
来看到。即,辛形式在切流形
T
L
{\displaystyle TL}
(所有切向量)上必须为零:
∀
i
,
j
,
ω
(
∂
∂
u
i
,
∂
∂
u
j
)
=
0
{\displaystyle \forall i,\ j,\ \omega \left({\frac {\partial }{\partial u_{i}}},{\frac {\partial }{\partial u_{j}}}\right)=0}
利用
R
2
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}
上的规范辛形式简化结果:
ω
(
∂
∂
q
k
,
∂
∂
p
k
)
=
−
ω
(
∂
∂
p
k
,
∂
∂
q
k
)
=
1
{\displaystyle \omega \left({\frac {\partial }{\partial q_{k}}},{\frac {\partial }{\partial p_{k}}}\right)=-\omega \left({\frac {\partial }{\partial p_{k}}},{\frac {\partial }{\partial q_{k}}}\right)=1}
而其他的都为零。
由于辛流形上的局部坐标图 具有规范形式,此例表明拉格朗日子流形相对来说不受约束。辛流形的分类由弗洛尔同调 完成,这是莫尔斯理论 在拉格朗日子流形间的映射的作用泛函 中的应用。物理学中,作用量描述了物理系统的时间演化;这里,它可视作对膜动力的描述。
另一类有用的拉格朗日子流形出现于莫尔斯理论 。给定莫尔斯函数
f
:
M
→
R
{\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }
,且对足够小的
ε
{\displaystyle \varepsilon }
,可以构造拉格朗日子流形,其由零轨迹
V
(
ε
⋅
d
f
)
⊂
T
∗
M
{\displaystyle \mathbb {V} (\varepsilon \cdot \mathrm {d} f)\subset T^{*}M}
给出。对一般莫尔斯函数,有拉格朗日交,由
M
∩
V
(
ε
⋅
d
f
)
=
Crit
(
f
)
{\displaystyle M\cap \mathbb {V} (\varepsilon \cdot \mathrm {d} f)={\text{Crit}}(f)}
给出。
凯勒流形 或卡拉比-丘流形 的情形下,可以在M 上选择
Ω
=
Ω
1
+
i
Ω
2
{\displaystyle \Omega =\Omega _{1}+\mathrm {i} \Omega _{2}}
作为全纯n形式,其中
Ω
1
{\displaystyle \Omega _{1}}
是实部,
Ω
2
{\displaystyle \Omega _{2}}
是虚部。若对拉格朗日子流形L 的
Ω
2
{\displaystyle \Omega _{2}}
为零,则L 是特殊 的。也就是说,限制在L 上实部
Ω
1
{\displaystyle \Omega _{1}}
的条件引导了L 上的体积形式。以下例子称作特殊拉格朗日子流形:
超凯勒流形 的复拉格朗日子流形
卡拉比-丘流形的实结构的定点
SYZ猜想 涉及镜像对称 中特殊拉格朗日子流形的研究,见(Hitchin 1999 )。
托马斯-丘猜想 预言,在拉格朗日量的哈密顿迷向类中的卡拉比-丘流形上存在特殊拉格朗日子流形,这等价于流形的深谷范畴 上的布里奇兰稳定性条件 。
有一个标准“局部”模型,也就是
R
2
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}
,其中
∀
i
=
0
,
…
,
n
−
1
,
j
,
k
=
0
,
…
,
2
n
−
1
(
k
≠
j
+
n
,
j
≠
k
+
n
)
,
ω
i
,
n
+
i
=
1
;
ω
n
+
i
,
i
=
−
1
;
ω
j
,
k
=
0
{\displaystyle \forall i=0,\ldots ,\ n-1,\ j,\ k=0,\ldots ,\ 2n-1(k\neq j+n,\ j\neq k+n),\ \omega _{i,\ n+i}=1;\ \omega _{n+i,\ i}=-1;\ \omega _{j,\ k}=0}
。这是一个线性 辛空间的例子。参看辛向量空间 。一个称为达布定理 的命题表明局部 来看每个辛流形都和这个简单的辛流形相似。
辛流形M 的拉格朗日纤维 是指所有纤维 都是拉格朗日子流形的纤维 。由于M 是偶数维,所以可取局部坐标
(
p
1
,
…
,
p
n
,
q
1
,
…
,
q
n
)
{\displaystyle (p_{1},\ \ldots ,\ p_{n},\ q^{1},\ \ldots ,\ q^{n})}
,由达布定理 ,辛形式ω (至少局部地)可以写成
ω
=
∑
d
p
k
∧
d
q
k
{\displaystyle \omega =\sum {\rm {d}}p_{k}\wedge {\rm {d}}q^{k}}
,其中d表示外微分 ,∧表示外积 。这种形式称作庞加莱2形式 或规范2形式。利用这种设置,我们可以局部���将M 看成余切丛
T
∗
R
n
{\displaystyle T^{*}\mathbb {R} ^{n}}
,拉格朗日纤维则是平凡纤维
π
:
T
∗
R
n
→
R
n
.
{\displaystyle \pi :T^{*}\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}.}
这便是规范图像。
令L 为辛流形
(
K
,
ω
)
{\displaystyle (K,\ \omega )}
的由浸入
i
:
L
↪
K
{\displaystyle i:\ L\hookrightarrow K}
(i 是拉格朗日浸入 )给出的拉格朗日子流形。令
π
:
K
↠
B
{\displaystyle \pi :\ K\twoheadrightarrow B}
给出K 的一个拉格朗日纤维,则
(
π
∘
i
)
:
L
↪
K
↠
B
{\displaystyle (\pi \circ i):\ L\hookrightarrow K\twoheadrightarrow B}
是拉格朗日映射 。
π
∘
i
{\displaystyle \pi \circ i}
的临界值 集称作焦散线 。
两拉格朗日映射
(
π
1
∘
i
1
)
:
L
1
↪
K
1
↠
B
1
,
(
π
2
∘
i
2
)
:
L
2
↪
K
2
↠
B
2
{\displaystyle (\pi _{1}\circ i_{1}):\ L_{1}\hookrightarrow K_{1}\twoheadrightarrow B_{1},\ (\pi _{2}\circ i_{2}):\ L_{2}\hookrightarrow K_{2}\twoheadrightarrow B_{2}}
,若有微分同胚
σ
,
τ
,
n
u
{\displaystyle \sigma ,\ \tau ,\ nu}
使两式右图交换 、τ 保留辛形式,则称它们拉格朗日等价 。[ 4] 用符号表示:
τ
∘
i
1
=
i
2
∘
σ
,
ν
∘
π
1
=
π
2
∘
τ
,
τ
∗
ω
2
=
ω
1
,
{\displaystyle \tau \circ i_{1}=i_{2}\circ \sigma ,\ \nu \circ \pi _{1}=\pi _{2}\circ \tau ,\ \tau ^{*}\omega _{2}=\omega _{1}\,,}
其中
τ
∗
ω
2
{\displaystyle \tau ^{*}\omega _{2}}
表示
ω
2
{\displaystyle \omega _{2}}
对τ 的拉回 。
辛流形
(
M
,
ω
)
{\displaystyle (M,\omega )}
的辛形式
ω
{\displaystyle \omega }
若是正合 的,则辛流形也是正合 (exact)的。例如,光滑流形的余切丛是正合辛流形。规范辛形式 也正合。
切丛具有殆复结构的意义上,赋予跟辛形式相容的度量 的辛流形是殆凯勒流形 ,但不一定可积。
辛流形是泊松流形 的特例。
度数为k 的多辛流形 (multisymplectic manifold)是具备闭非退化k 形式的流形。[ 5]
聚辛流形 (polysymplectic manifold)是具有聚辛切值
(
n
+
2
)
{\displaystyle (n+2)}
形式的勒让德丛,用于哈密顿场论 。[ 6]
和辛流形紧密相关的有一个奇数维流形,称为切触流形 。每个2n+1 维切触流形
(
M
,
α
)
{\displaystyle (M,\ \alpha )}
给出一个2n+2 维辛流形
(
M
×
R
,
d
(
e
t
α
)
)
.
{\displaystyle (M\times \mathbb {R} ,\ {\rm {d}}(e^{t}\alpha )).}
^ Webster, Ben. What is a symplectic manifold, really? . 2012-01-09 [2023-12-25 ] . (原始内容存档 于2023-04-05).
^ Cohn, Henry. Why symplectic geometry is the natural setting for classical mechanics . [2023-12-25 ] . (原始内容存档 于2023-05-20).
^ 3.0 3.1 de Gosson, Maurice. Symplectic Geometry and Quantum Mechanics. Basel: Birkhäuser Verlag. 2006: 10. ISBN 3-7643-7574-4 .
^ 4.0 4.1 4.2 Arnold, V. I. ; Varchenko, A. N. ; Gusein-Zade, S. M. The Classification of Critical Points, Caustics and Wave Fronts: Singularities of Differentiable Maps, Vol 1. Birkhäuser. 1985. ISBN 0-8176-3187-9 .
^ Cantrijn, F.; Ibort, L. A.; de León, M. On the Geometry of Multisymplectic Manifolds. J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 1999, 66 (3): 303–330. doi:10.1017/S1446788700036636 .
^ Giachetta, G.; Mangiarotti, L.; Sardanashvily, G. Covariant Hamiltonian equations for field theory. Journal of Physics. 1999, A32 (38): 6629–6642. Bibcode:1999JPhA...32.6629G . S2CID 204899025 . arXiv:hep-th/9904062 . doi:10.1088/0305-4470/32/38/302 .
McDuff, Dusa ; Salamon, D. Introduction to Symplectic Topology. Oxford Mathematical Monographs. 1998. ISBN 0-19-850451-9 .
Auroux, Denis . Seminar on Mirror Symmetry . [2023-12-25 ] . (原始内容存档 于2023-02-24).
Meinrenken, Eckhard . Symplectic Geometry (PDF) . [2023-12-25 ] . (原始内容存档 (PDF) 于2023-04-04).
Abraham, Ralph ; Marsden, Jerrold E. Foundations of Mechanics. London: Benjamin-Cummings. 1978. See Section 3.2. ISBN 0-8053-0102-X .
de Gosson, Maurice A. Symplectic Geometry and Quantum Mechanics. Basel: Birkhäuser Verlag. 2006. ISBN 3-7643-7574-4 .
Alan Weinstein . Symplectic manifolds and their lagrangian submanifolds. Advances in Mathematics . 1971, 6 (3): 329–46. doi:10.1016/0001-8708(71)90020-X .
Arnold, V. I. Ch.1, Symplectic geometry. Singularities of Caustics and Wave Fronts . Mathematics and Its Applications 62 . Dordrecht: Springer Netherlands. 1990. ISBN 978-1-4020-0333-2 . OCLC 22509804 . doi:10.1007/978-94-011-3330-2 .
Dunin-Barkowski, Petr. Symplectic duality for topological recursion. 2022. arXiv:2206.14792 [math-ph ].
How to find Lagrangian Submanifolds . Stack Exchange . December 17, 2014.
Lumist, Ü. , Symplectic Structure , Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书 , Springer , 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
Sardanashvily, G. Fibre bundles, jet manifolds and Lagrangian theory. Lectures for Theoreticians. 2009. arXiv:0908.1886 .
McDuff, D. Symplectic Structures—A New Approach to Geometry (PDF) . Notices of the AMS. November 1998 [2023-12-25 ] . (原始内容存档 (PDF) 于2023-01-28).
Hitchin, Nigel. Lectures on Special Lagrangian Submanifolds. 1999. arXiv:math/9907034 .