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可加性

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可加性是指對於某種變換來說,特定的「加法」和該變換的順序可顛倒而不影響結果,這樣一種性質。

例如對於兩個實數 x 和 y,我們可以先執行加法 x+y、後把結果乘以二;也可以先各自乘以二然後再相加,兩邊結果是一樣的。那麼我們說變換「乘以二」具有可加性。

定義

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一個函數f:A→B,其定義域A和陪域B上分別定義了某種加法。若該函數滿足:∀x,y∈A,有。則稱f對於滿足可加性。在上下文對於都很明確的情況下,通常簡稱為 f 滿足可加性,亦稱f為可加函數

若上述函數f滿足:∀有限集,有,則稱f滿足有限可加性

若上述函數f滿足:∀可列集,有,則稱f滿足可列可加性

示例

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  • 定積分的可加性:設 ,那麼——積分區間是可加的。
  • 集函數的可加性:定義域為集類S,值域為[0, ∞]上的廣義實值集函數f,若:
    • ,有,則稱f為可加的。
    • ,有,則稱f為有限可加的。
    • ,有,則稱f為可列可加的。