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權重

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權重函數(英語:Weight function)是執行求和求積或求平均值等時候用來給不同元素施加不同權重的函數。

應用權重函數的結果是加權[註 1]和或加權平均值。權重函數在統計學分析學中經常出現,並且與測度的概念密切相關。權重函數可用於離散和連續的設置,構建稱為加權微積分或元微積分的微積分系統。

在量測時,因測量值精度的不同,而在平差計算中採取的權重不同;若測量值的精度較高,則平差計算時也應佔有較高的「比重」,平差法將它稱為「權」。[註 2]

權的基本公式

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的基本公式為

式中,是任意常數,中誤差。由此可見,中誤差平方成反比,即精度越高,權越大。應用上式求一組觀測值的權時,必須採用同一個值。

由該定義式,可以看出,當時,,所以等於1的觀測值的中誤差,通常稱等於1的權為單位權為1的觀測值為單位權觀測值。而為單位權觀測值的中誤差,簡稱為單位權中誤差

可以寫出各觀測值的權之間的比例關係:

可知,一組觀測值的權之比等於他們的中誤差平方的倒數之比。不論假設取何值,這組權之間的比例關係不變。所以,權反映了觀測值之間的相互精度關係。就計算p值來說,不在乎權本身數值的大小,而在於確定他們之間的比例關係。可以是同一個量的觀測中誤差,也可以是不同量的觀測中誤差,即權可以反映同一量的若干個觀測值之間的精度高低,也可以反映不同量的觀測值之間的精度高低。

普通測量中的定權

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同精度丈量時,邊長的權與邊長成反比。

當每公里水準測量的精度相同時,水準路線觀測高差的權與路線長度成反比。

當各測站觀測高差的精度相同時,水準路線觀測高差的權與測站數成反比。

由不同個數的同精度觀測值求得得算術平均值,其權與觀測值個數成正比。

觀測值函數的權

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設有獨立觀測值 ,它們的標準差及權分別為。令觀測值函數為:

誤差傳播及定權公式,得

式中是常量,用表示,上式約去後得

這就是獨立觀測值權倒數與其函數權倒數之間關係的表達式。這個表達式成為權倒數傳播律

廣義算術平均值的權,等於觀測值權之和。

註釋

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  1. ^ 加權的意思就是乘以權重,亦即乘以系數的意思
  2. ^ 此「比重」是相對的數值,「權」亦是相對的數值。當精度越高,權就越大