等差数列,又名算术数列(英語:Arithmetic sequence[註 1]),是数列的一种。在等差数列中,任何相邻两项的差相等,该差值称为公差(common difference)。
例如数列:
- 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...
就是一个等差数列。 在这个数列中,从第二项起,每项与其前一项之公差都相等。
如果一个等差数列的首项記作 a1,公差記作 d,那么该等差数列第 n 项 an 的一般項为:
![{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee67ae45f51cb32b4250e2921dc59daf61f9e48e)
換句話說,任意一個等差数列 {an} 都可以寫成
![{\displaystyle \{a\,,\,\,a+d\,,\,\,a+2d\,,\,\cdots \,,\,\,a+(n-1)d\}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b2773cec241361057b9f66e62a9eb295270dbc1)
在一個等差數列中,給定任意兩相連項 an+1 和 an ,可知公差
![{\displaystyle d=a_{n+1}-a_{n}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8caa23bd2a70e0174c2174659496c3fb6003466)
給定任意兩項 am 和 an ,則有公差
![{\displaystyle d={\frac {a_{m}-a_{n}}{m-n}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8ba349cdf62f147363a8061b2c66d818a8c321d)
此外,在一個等差数列中,選取某一項,該項的前一項與後一項之和,為原來該項的兩倍。舉例來說,a1 + a3 = 2a2。
更一般地說,有:
![{\displaystyle a_{n-1}+a_{n+1}=2a_{n}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d2281f61a5bc57206c7fff6341c696d0ecdde4f)
證明如下:
![{\displaystyle {\begin{aligned}a_{n-1}+a_{n+1}&=[a+(n-2)d]+(a+nd)\\&=2a+(2n-2)d\\&=2[a+(n-1)d]\\&=2a_{n}\\\end{aligned}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a12ccc9b820292413aa3135787df74d7a6818c0)
證畢。
從另一個角度看,等差數列中的任意一項,是其前一項和後一項的算術平均:
![{\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec5c964b317345bb0189920cf25612b06eba02e8)
此結果從上面直接可得。
如果有正整數 m, n, p, q,使得
,那么则有:
![{\displaystyle a_{m}+a_{n}=a_{p}+a_{q}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dae22500113e819ae2ed368404a5b081f913c3b5)
證明如下:
![{\displaystyle {\begin{aligned}a_{m}+a_{n}&=[a+(m-1)d]+[a+(n-1)d]\\&=2a+(m+n-2)d\\&=2a+(p+q-2)d\\&=[a+(p-1)d]+[a+(q-1)d]\\&=a_{p}+a_{q}\\\end{aligned}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/273612ebe264155a670d426c885328843d9ec2bd)
由此可將上面的性質一般化成:
![{\displaystyle a_{n-k}+a_{n+k}=2a_{n}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/512ce36eaff2fc580366cf58bb3b09e6dce9994c)
![{\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-k}+a_{n+k}}{2}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e43b9fd2aefa3d534cdcb7e6381b511ffc60d306)
其中 k 是一個小於 n 的整數。
給定一個等差數列
,則有:
是一個等差數列。
是一個等差數列。
是一個等比數列。
是一個等諧數列。
從等差數列的一般項可知,任意一個可以寫成
![{\displaystyle a_{n}=p+qn}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41caeaa876ac9b864ac0dd90b9ab6bf5037459a4)
形成的數列,都是一個等差數列,其中公差 d = q,首項 a = p + q。
一個等差數列的首 n 項之和,稱為等差数列和(sum of arithmetic sequence)或算術級數(arithmetic series),記作 Sn。
舉例來說,等差數列 {1, 3, 5, 7} 的和是 1 + 3 + 5 + 7 = 16。
等差數列求和的公式如下:
![{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&={\frac {n}{2}}\,(a+a_{n})\\&={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]\\&=an+d\cdot {\frac {n(n-1)}{2}}\end{aligned}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9a6d74b2b19a1179a26eea2ec9d7920dac4f88b)
等差数列和在中文教科書中常表达为:
- 一个等差数列的和,等于其首项与末项的和,乘以项数除以2。
公式證明如下:
将等差數列和写作以下两种形式:
![{\displaystyle S_{n}=a+(a+d)+(a+2d)+\dots +[a+(n-2)d]+[a+(n-1)d]}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0803f0b72d7fd0819498134002c747211bbefae9)
![{\displaystyle S_{n}=[a_{n}-(n-1)d]+[a_{n}-(n-2)d]+\dots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8be620ef7d34ddc6347a1dd042a442da5469f6fc)
将两公式相加来消掉公差 d,可得
![{\displaystyle \ 2S_{n}=n(a+a_{n})}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d4784b94b37af0b233d8bd3d65d00ad7fe71d0e)
整理可得第一種形式。
代入
,可得第二種及第三種形式。
從上面的第三種形式展開可見,任意一個可以寫成
![{\displaystyle S_{n}=pn+qn^{2}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3daeca15ce87541651f5844679198bf2a97e452d)
形成的數列和,其原來數列都是一個等差數列,其中公差 d = 2q,首項 a = p + q。
一個等差數列的首 n 項之積,稱為等差数列積(product of arithmetic sequence),記作 Pn。
舉例來說,等差數列 {1, 3, 5, 7} 的積是 1 × 3 × 5 × 7 = 105。
等差数列積的公式较為复杂,須以Γ函數表示:
![{\displaystyle P_{n}=d^{n}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {a}{d}}+n)}{\Gamma ({\frac {a}{d}})}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9da298308595a4b0a740e967adf5184d100d8a2d)
證明如下:
![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}&=a\cdot (a+d)\cdot (a+2d)\cdot \cdots \cdot [a+(n-1)d]\\&=d^{n}\cdot \left({\frac {a}{d}}\right)\cdot \left({\frac {a}{d}}+1\right)\cdot \left({\frac {a}{d}}+2\right)\cdot \cdots \cdot \left[{\frac {a}{d}}+(n-1)\right]\\&=d^{n}\cdot {\left({\frac {a}{d}}\right)}^{\overline {n}}\\&=d^{n}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {a}{d}}+n)}{\Gamma ({\frac {a}{d}})}}\\\end{aligned}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8d6b3cfc56eecdca356e805ccd33c42c1a18726)
這裡的
为 x 的 n 次上升阶乘幂,例子如
。
使用上面的例子,對於數列 {1, 3, 5, 7} :
![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{4}&=2^{4}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}}+4)}{\Gamma ({\frac {1}{2}})}}\\&=16\cdot {\frac {11.6317\dots }{1.77245\dots }}\\&=105\end{aligned}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2568ff6bd12ce4e63c587f87c3acff304ba7943a)
結果相等。