整除是数学中两个自然数之间的一种关系。自然数 可以被自然数 整除,是指 是 的因數,且a是b的整数倍数,也就是 除以 没有餘数。
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因數判別法可參照整除規則。
表示 整除 ,即 是 的倍数, 是 的因数。
可以被 整除,记作 。
不能被 整除(因为餘数为 ),记作 。在 上加一条斜线即表示不整除。
根据乘法表,两个整数可以用长除法(直式除法)笔算。如果被除数有分数部分(或者说时小数点),计算时将小数点带下来就可以;如果除数有小数点,将除数与被除数的小数点同时移位,直到除数没有小数点。
算盘也可以做除法运算。
長除法俗稱「長除」,適用於正式除法、小數除法、多項式除法(即因式分解)等較重視計算過程和商數的除法,過程中兼用了乘法和減法。
使用長除法計算 的過程可以表示為:
的演算過程
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短除法是長除法的簡化版本。在短除法裏,被除數放中央,旁以一L型符號表示除法,被除數左側為除數,下側為商,省去了長除法逐層計算的過程。
- 使用短除法計算 的近似值:
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- 使用短除法計算 的質因數分解:
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- 使用短除法計算 的最大公因數及最小公倍數:
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和整数之间的带余除法类似,一元多项式之间也可以进行带余除法。可以证明,设有多项式 和非零多项式 ,则存在唯一的多项式 和 ,满足:
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而多项式 若非零多项式,則其冪次严格小于 的冪次。
作为特例,如果要计算某个多项式 除以一次多项式 得到的餘多项式,可以直接将 代入到多项式 中。 除以 的餘多项式是 。
具体的计算可以使用类似直式除法的方式。例如,计算 除以 ,列式如下:
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因此,商式是 ,餘式是 。
通常不定义除以零这种形式。亦即當除以0 或分數的分母為0 時,該式或該數無意義。