Geometria analítica

La geometria analítica o geometria cartesiana és la part de les matemàtiques que fa ús de l'àlgebra per descriure i analitzar figures geomètriques.^[1]^[2]^[3]

La geometria analítica s'utilitza en física i enginyeria, i també en aviació, coets, ciència espacial i vol espacial. És la base de la majoria dels camps moderns de la geometria, incloent l'algebraica, la diferencial, la discreta i la computacional.

En el següent exemple tenim l'expressió:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

que representa, en la geometria analítica plana, una el·lipse centrada en l'origen d'un sistema de coordenades cartesianes, que té el valor a com semieix major i el valor b com semieix menor. L'eix major és l'eix de les abscisses X.

En un sistema de coordenades cartesianes, un punt del pla queda determinat per dos nombres reals, que són l'abscissa i l'ordenada del punt. D'aquesta manera, a qualsevol punt del pla li corresponen sempre dos nombres reals ordenats (abscissa i ordenada) i, recíprocament, a un parell ordenat de nombres reals ordenats, correspon un únic punt del pla.^[4]^[5]

Conseqüentment, en el sistema cartesià s'estableix una correspondència biunívoca entre un concepte geomètric com és un punt del pla i un concepte algebraic com és un parell de nombres ordenat. Aquesta correspondència constitueix el fonament de la geometria analítica.^[6]

Els raonaments anteriors són tanmateix vàlids per un punt a l'espai i una terna ordenada de nombres.

Història

Antiga Grècia

El matemàtic grec Menecme va resoldre problemes i va demostrar teoremes utilitzant un mètode que s'assemblava molt a l'ús de coordenades i de vegades s'ha sostingut que va introduir la geometria analítica.^[7]

Apol·loni de Perge, a Διωρωσμένη Τομή (Secció determinada), tractava els problemes d'una manera que es pot anomenar geometria analítica d'una dimensió; amb la qüestió de trobar punts en una recta que estiguessin en una proporció amb les altres.^[8] Apol·loni a Coniquès va desenvolupar encara més un mètode tan semblant a la geometria analítica que de vegades el seu treball es pensava que havia anticipat l'obra de Descartes en uns 1800 anys. La seva aplicació de línies de referència, un diàmetre i una tangent no és essencialment diferent del nostre ús modern d'un marc de coordenades, on les distàncies mesurades al llarg del diàmetre des del punt de tangència són les abscisses i els segments paral·lels a la tangent i interceptats entre l'eix i la corba són les ordenades. Va desenvolupar encara més relacions entre les abscisses i les ordenades corresponents que són equivalents a equacions retòriques (expressades amb paraules) de corbes. Tanmateix, tot i que Apol·loni va estar a prop de desenvolupar la geometria analítica, no ho va aconseguir, ja que no va tenir en compte les magnituds negatives i en tots els casos el sistema de coordenades es va sobreposar a una corba donada a posteriori en comptes de a priori. És a dir, les equacions estaven determinades per corbes, però les corbes no estaven determinades per equacions. Les coordenades, les variables i les equacions eren nocions subsidiàries aplicades a una situació geomètrica específica.^[9]

Pèrsia

El matemàtic persa del segle xi Omar Khayyam va veure una forta relació entre la geometria i l'àlgebra i s'estava movent en la direcció correcta quan va ajudar a tancar la bretxa entre l' i l'àlgebra geomètrica^[10] amb la seva solució geomètrica de l'equació cúbica general,^[11] però el pas decisiu va arribar després amb Descartes.^[10] A Omar Khayyam se li atribueix la identificació dels fonaments de la geometria algebraica, i el seu llibre Tractat sobre la demostració de problemes d'àlgebra (1070), que va establir els principis de la geometria analítica, forma part del cos de les matemàtiques perses que finalment es va transmetre a Europa. A causa del seu enfocament geomètric exhaustiu de les equacions algebraiques, Khayyam es pot considerar un precursor de Descartes en la invenció de la geometria analítica.^[12]

Europa Occidental

La geometria analítica va ser inventada independentment per René Descartes i Pierre de Fermat,^[13]^[14] tot i que de vegades se li concedeix l'únic crèdit a Descartes.^[15]^[16] Geometria cartesiana, el terme alternatiu utilitzat per a la geometria analítica, rep el nom per Descartes.

Descartes va fer un progrés significatiu amb els mètodes en un assaig titulat La Géométrie (La Geometria), un dels tres assajos (apèndixs) que l'acompanyen publicats el 1637 juntament amb el seu Discours de la méthode pour bien conduire sa raison, et chercher la vérité dans les sciences (Discurs del mètode per conduir bé la raó i cercar la veritat a les ciències), comunament denominat Discurs del mètode. La Géométrie, escrit en francès, i els seus principis filosòfics, van proporcionar una base per al càlcul a Europa. Inicialment el treball no va ser ben rebut, a causa, en part, de les nombroses llacunes en els arguments i les complicades equacions. Només després de la traducció al llatí i de l'addició de comentaris de van Schooten el 1649 (i posteriors treballs posteriors) l'obra mestra de Descartes va rebre el degut reconeixement.^[17]

Pierre de Fermat també va ser pioner en el desenvolupament de la geometria analítica. Encara que no es va publicar en vida, una forma manuscrita d'Ad locos planos et solidos isagoge (Introducció al pla i als llocs sòlids) circulava a París el 1637, just abans de la publicació del Discurs de Descartes.^[18]^[19]^[20] Clarament escrit i ben rebut, la Introducció també va establir les bases per a la geometria analítica. La diferència clau entre els tractaments de Fermat i de Descartes és una qüestió de punt de vista: Fermat sempre començava amb una equació algebraica i després descrivia la corba geomètrica que la satisfeia, mentre que Descartes va començar amb corbes geomètriques i va produir les seves equacions com una de les diverses propietats de les corbes.^[17] Com a conseqüència d'aquest enfocament, Descartes va haver de fer front a equacions més complicades i va haver de desenvolupar els mètodes per treballar amb equacions polinomials de grau superior. Va ser Leonhard Euler qui va aplicar per primer cop el mètode de coordenades en un estudi sistemàtic de les corbes i superfícies espacials.

Referències

↑ «analytic geometry | Britannica» (en anglès). [Consulta: 16 novembre 2022].
↑ «ANALITICA, GEOMETRIA in "Enciclopedia Italiana"» (en italià). [Consulta: 16 novembre 2022].
↑ «What is Analytic Geometry? - Definition from Techopedia» (en anglès). [Consulta: 18 novembre 2022].
↑ «What does analytic geometry mean?». [Consulta: 18 novembre 2022].
↑ «Analytical Geometry - Definition, Formulas, Types, Examples» (en anglès). [Consulta: 18 novembre 2022].
↑ «Analytic Geometry (Coordinate Geometry) - Definition, Formulas, Examples» (en anglès). [Consulta: 20 agost 2024].
↑ Boyer, Carl B. «The Age of Plato and Aristotle». A: A History of Mathematics. Second. John Wiley & Sons, Inc., 1991, p. 94–95. ISBN 0-471-54397-7. «Menaechmus apparently derived these properties of the conic sections and others as well. Since this material has a strong resemblance to the use of coordinates, as illustrated above, it has sometimes been maintained that Menaechmus had analytic geometry. Such a judgment is warranted only in part, for certainly Menaechmus was unaware that any equation in two unknown quantities determines a curve. In fact, the general concept of an equation in unknown quantities was alien to Greek thought. It was shortcomings in algebraic notations that, more than anything else, operated against the Greek achievement of a full-fledged coordinate geometry.»
↑ Boyer, Carl B. «Apollonius of Perga». A: A History of Mathematics. Second. John Wiley & Sons, Inc., 1991, p. 142. ISBN 0-471-54397-7. «The Apollonian treatise On Determinate Section dealt with what might be called an analytic geometry of one dimension. It considered the following general problem, using the typical Greek algebraic analysis in geometric form: Given four points A, B, C, D on a straight line, determine a fifth point P on it such that the rectangle on AP and CP is in a given ratio to the rectangle on BP and DP. Here, too, the problem reduces easily to the solution of a quadratic; and, as in other cases, Apollonius treated the question exhaustively, including the limits of possibility and the number of solutions.»
↑ Boyer, Carl B. «Apollonius of Perga». A: A History of Mathematics. Second. John Wiley & Sons, Inc., 1991, p. 156. ISBN 0-471-54397-7. «The method of Apollonius in the Conics in many respects are so similar to the modern approach that his work sometimes is judged to be an analytic geometry anticipating that of Descartes by 1800 years. The application of references lines in general, and of a diameter and a tangent at its extremity in particular, is, of course, not essentially different from the use of a coordinate frame, whether rectangular or, more generally, oblique. Distances measured along the diameter from the point of tangency are the abscissas, and segments parallel to the tangent and intercepted between the axis and the curve are the ordinates. The Apollonian relationship between these abscissas and the corresponding ordinates are nothing more nor less than rhetorical forms of the equations of the curves. However, Greek geometric algebra did not provide for negative magnitudes; moreover, the coordinate system was in every case superimposed a posteriori upon a given curve in order to study its properties. There appear to be no cases in ancient geometry in which a coordinate frame of reference was laid down a priori for purposes of graphical representation of an equation or relationship, whether symbolically or rhetorically expressed. Of Greek geometry we may say that equations are determined by curves, but not that curves are determined by equations. Coordinates, variables, and equations were subsidiary notions derived from a specific geometric situation; [...] That Apollonius, the greatest geometer of antiquity, failed to develop analytic geometry, was probably the result of a poverty of curves rather than of thought. General methods are not necessary when problems concern always one of a limited number of particular cases.»
↑ ^10,0 ^10,1 Boyer. «The Arabic Hegemony». A: A History of Mathematics, 1991, p. 241–242. ISBN 9780471543978. «Omar Khayyam (ca. 1050–1123), the "tent-maker," wrote an Algebra that went beyond that of al-Khwarizmi to include equations of third degree. Like his Arab predecessors, Omar Khayyam provided for quadratic equations both arithmetic and geometric solutions; for general cubic equations, he believed (mistakenly, as the sixteenth century later showed), arithmetic solutions were impossible; hence he gave only geometric solutions. The scheme of using intersecting conics to solve cubics had been used earlier by Menaechmus, Archimedes, and Alhazan, but Omar Khayyam took the praiseworthy step of generalizing the method to cover all third-degree equations (having positive roots). For equations of higher degree than three, Omar Khayyam evidently did not envision similar geometric methods, for space does not contain more than three dimensions, ... One of the most fruitful contributions of Arabic eclecticism was the tendency to close the gap between numerical and geometric algebra. The decisive step in this direction came much later with Descartes, but Omar Khayyam was moving in this direction when he wrote, "Whoever thinks algebra is a trick in obtaining unknowns has thought it in vain. No attention should be paid to the fact that algebra and geometry are different in appearance. Algebras are geometric facts which are proved."»
↑ Cooper, 2003, p. 248–249.
↑ Cooper, 2003, p. 248.
↑ Stillwell, John. «Analytic Geometry». A: Mathematics and its History. Second. Springer Science + Business Media Inc., 2004, p. 105. ISBN 0-387-95336-1. «the two founders of analytic geometry, Fermat and Descartes, were both strongly influenced by these developments.»
↑ Boyer 2004
↑ Cooke, Roger. «The Calculus». A: The History of Mathematics: A Brief Course. Wiley-Interscience, 1997, p. 326. ISBN 0-471-18082-3. «The person who is popularly credited with being the discoverer of analytic geometry was the philosopher René Descartes (1596–1650), one of the most influential thinkers of the modern era.»
↑ Boyer 2004
↑ ^17,0 ^17,1 Katz, 1998, p. 442.
↑ Katz, 1998, p. 436.
↑ Pierre de Fermat, Varia Opera Mathematica d. Petri de Fermat, Senatoris Tolosani (Toulouse, France: Jean Pech, 1679), "Ad locos planos et solidos isagoge," pp. 91–103. Arxivat 2015-08-04 a Wayback Machine.
↑ "Eloge de Monsieur de Fermat" Arxivat 2015-08-04 a Wayback Machine. (Eulogy of Mr. de Fermat), Le Journal des Scavans, 9 febrer 1665, p. 69–72. Des de la p. 70: "Une introduction aux lieux, plans & solides; qui est un traité analytique concernant la solution des problemes plans & solides, qui avoit esté veu devant que M. des Cartes eut rien publié sur ce sujet." (Una introducció als llocs, plans i sòlids, que és un tractat analític sobre la solució de problemes plans i sòlids, que es va veure abans que el Sr. des Cartes hagués publicat res sobre aquest tema.)

Bibliografia

Boyer, Carl B. History of Analytic Geometry (en anglès). Dover Publications, 2004. ISBN 978-0486438320.
Cooper, Glen M. «Review: Omar Khayyam, the Mathmetician by R. Rashed, B. Vahabzadeh» (en anglès). Journal of the American Oriental Society, 123, 2003. DOI: 10.2307/3217882. JSTOR: 3217882.
Katz, Victor J. A History of Mathematics: An Introduction (2nd Ed.) (en anglès). Reading: Addison Wesley Longman, 1998. ISBN 0-321-01618-1.

Vegeu també

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Geometria analítica

[1] «analytic geometry | Britannica» (en anglès). [Consulta: 16 novembre 2022].

[2] «ANALITICA, GEOMETRIA in "Enciclopedia Italiana"» (en italià). [Consulta: 16 novembre 2022].

[3] «What is Analytic Geometry? - Definition from Techopedia» (en anglès). [Consulta: 18 novembre 2022].

[4] «What does analytic geometry mean?». [Consulta: 18 novembre 2022].

[5] «Analytical Geometry - Definition, Formulas, Types, Examples» (en anglès). [Consulta: 18 novembre 2022].

[6] «Analytic Geometry (Coordinate Geometry) - Definition, Formulas, Examples» (en anglès). [Consulta: 20 agost 2024].

[7] Boyer, Carl B. «The Age of Plato and Aristotle». A: A History of Mathematics. Second. John Wiley & Sons, Inc., 1991, p. 94–95. ISBN 0-471-54397-7. «Menaechmus apparently derived these properties of the conic sections and others as well. Since this material has a strong resemblance to the use of coordinates, as illustrated above, it has sometimes been maintained that Menaechmus had analytic geometry. Such a judgment is warranted only in part, for certainly Menaechmus was unaware that any equation in two unknown quantities determines a curve. In fact, the general concept of an equation in unknown quantities was alien to Greek thought. It was shortcomings in algebraic notations that, more than anything else, operated against the Greek achievement of a full-fledged coordinate geometry.»

[8] Boyer, Carl B. «Apollonius of Perga». A: A History of Mathematics. Second. John Wiley & Sons, Inc., 1991, p. 142. ISBN 0-471-54397-7. «The Apollonian treatise On Determinate Section dealt with what might be called an analytic geometry of one dimension. It considered the following general problem, using the typical Greek algebraic analysis in geometric form: Given four points A, B, C, D on a straight line, determine a fifth point P on it such that the rectangle on AP and CP is in a given ratio to the rectangle on BP and DP. Here, too, the problem reduces easily to the solution of a quadratic; and, as in other cases, Apollonius treated the question exhaustively, including the limits of possibility and the number of solutions.»

[9] Boyer, Carl B. «Apollonius of Perga». A: A History of Mathematics. Second. John Wiley & Sons, Inc., 1991, p. 156. ISBN 0-471-54397-7. «The method of Apollonius in the Conics in many respects are so similar to the modern approach that his work sometimes is judged to be an analytic geometry anticipating that of Descartes by 1800 years. The application of references lines in general, and of a diameter and a tangent at its extremity in particular, is, of course, not essentially different from the use of a coordinate frame, whether rectangular or, more generally, oblique. Distances measured along the diameter from the point of tangency are the abscissas, and segments parallel to the tangent and intercepted between the axis and the curve are the ordinates. The Apollonian relationship between these abscissas and the corresponding ordinates are nothing more nor less than rhetorical forms of the equations of the curves. However, Greek geometric algebra did not provide for negative magnitudes; moreover, the coordinate system was in every case superimposed a posteriori upon a given curve in order to study its properties. There appear to be no cases in ancient geometry in which a coordinate frame of reference was laid down a priori for purposes of graphical representation of an equation or relationship, whether symbolically or rhetorically expressed. Of Greek geometry we may say that equations are determined by curves, but not that curves are determined by equations. Coordinates, variables, and equations were subsidiary notions derived from a specific geometric situation; [...] That Apollonius, the greatest geometer of antiquity, failed to develop analytic geometry, was probably the result of a poverty of curves rather than of thought. General methods are not necessary when problems concern always one of a limited number of particular cases.»

[Boyer_Omar_Khayyam_positive_roots-10] 10,0 ^10,1 Boyer. «The Arabic Hegemony». A: A History of Mathematics, 1991, p. 241–242. ISBN 9780471543978. «Omar Khayyam (ca. 1050–1123), the "tent-maker," wrote an Algebra that went beyond that of al-Khwarizmi to include equations of third degree. Like his Arab predecessors, Omar Khayyam provided for quadratic equations both arithmetic and geometric solutions; for general cubic equations, he believed (mistakenly, as the sixteenth century later showed), arithmetic solutions were impossible; hence he gave only geometric solutions. The scheme of using intersecting conics to solve cubics had been used earlier by Menaechmus, Archimedes, and Alhazan, but Omar Khayyam took the praiseworthy step of generalizing the method to cover all third-degree equations (having positive roots). For equations of higher degree than three, Omar Khayyam evidently did not envision similar geometric methods, for space does not contain more than three dimensions, ... One of the most fruitful contributions of Arabic eclecticism was the tendency to close the gap between numerical and geometric algebra. The decisive step in this direction came much later with Descartes, but Omar Khayyam was moving in this direction when he wrote, "Whoever thinks algebra is a trick in obtaining unknowns has thought it in vain. No attention should be paid to the fact that algebra and geometry are different in appearance. Algebras are geometric facts which are proved."»

[FOOTNOTECooper2003248–249-11] Cooper, 2003, p. 248–249.

[FOOTNOTECooper2003248-12] Cooper, 2003, p. 248.

[13] Stillwell, John. «Analytic Geometry». A: Mathematics and its History. Second. Springer Science + Business Media Inc., 2004, p. 105. ISBN 0-387-95336-1. «the two founders of analytic geometry, Fermat and Descartes, were both strongly influenced by these developments.»

[14] Boyer 2004

[15] Cooke, Roger. «The Calculus». A: The History of Mathematics: A Brief Course. Wiley-Interscience, 1997, p. 326. ISBN 0-471-18082-3. «The person who is popularly credited with being the discoverer of analytic geometry was the philosopher René Descartes (1596–1650), one of the most influential thinkers of the modern era.»

[16] Boyer 2004

[FOOTNOTEKatz1998442-17] 17,0 ^17,1 Katz, 1998, p. 442.

[FOOTNOTEKatz1998436-18] Katz, 1998, p. 436.

[19] Pierre de Fermat, Varia Opera Mathematica d. Petri de Fermat, Senatoris Tolosani (Toulouse, France: Jean Pech, 1679), "Ad locos planos et solidos isagoge," pp. 91–103. Arxivat 2015-08-04 a Wayback Machine.

[20] "Eloge de Monsieur de Fermat" Arxivat 2015-08-04 a Wayback Machine. (Eulogy of Mr. de Fermat), Le Journal des Scavans, 9 febrer 1665, p. 69–72. Des de la p. 70: "Une introduction aux lieux, plans & solides; qui est un traité analytique concernant la solution des problemes plans & solides, qui avoit esté veu devant que M. des Cartes eut rien publié sur ce sujet." (Una introducció als llocs, plans i sòlids, que és un tractat analític sobre la solució de problemes plans i sòlids, que es va veure abans que el Sr. des Cartes hagués publicat res sobre aquest tema.)

[1]