Vés al contingut

Subconjunt

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
Exemple gràfic, A⊆B.

Un subconjunt és un conjunt format per elements d'un altre conjunt. Es diu que el primer conjunt és subconjunt del segon conjunt. Una manera més formal d'expressar això seria: Siguin X i Y dos conjunts, es diu que X és subconjunt de Y quan tot element de X és també element de Y.[1]

Per exemple:
A={1,2,3} i B={1,2,3,4,7}. Es pot dir que A és un subconjunt de B perquè tots els elements de A també pertanyen a B.

La relació entre un subconjunt i un conjunt s'anomena inclusió i es representa pel símbol ⊆ o en la posició inversa ⊇.

En l'exemple anterior, escriuríem AB o BA.[2][3]

Seguint la definició, tot conjunt A és subconjunt d'ell mateix. Per això, es parla de subconjunts propis d'A per a referir-se als subconjunts d'A que no són ell mateix.[4][5]

Diferents notacions

[modifica]

Actualment s'utilitzen fonamentalment tres sistemes diferents de notació pels subconjunts. El sistema clàssic utilitza "⊂" per a qualsevol subconjunt i "" () per als subconjunts propis. Per altra banda, el sistema modern vol equiparar els símbols als de les desigualtats i utilitza "⊆" per a qualsevol subconjunt i "⊂" per als subconjunts propis. Finalment, hi ha un tercer corrent de matemàtics que utilitzen "⊆" per a subconjunts qualssevol i "" per als propis per eliminar qualsevol tipus d'ambigüitat, i que és la notació que segueix aquest article.

Nombre de subconjunts que pot tenir un conjunt finit

[modifica]

Un subconjunt pot tenir només una part dels elements de l'altre conjunt, tenir-los tots, o no tenir-ne cap (en aquest cas seria un conjunt buit). Per saber quants subconjunts es poden tenir a partir d'un conjunt finit, s'utilitza l'expressió: 2n, on n és el nombre d'elements del conjunt.

Donat A={1,2,3,4}, tenim els subconjunts:
{1,2,3,4},
{1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4},
{1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4},
{1}, {2}, {3} {4},
En total, 24=16 subconjunts.

Donat un conjunt A, el conjunt que té per elements tots els subconjunts d'A s'anomena conjunt de les parts d'A i es representa per .

Per exemple:
Si A={1,2}, llavors .
té, en efecte, elements.

Subconjunts disjunts

[modifica]

Dos subconjunts d'un mateix conjunt que no tenen cap element en comú s'anomenen subconjunts disjunts.

Per exemple:
Si A={q,w,e,r,t,p,o,i,u,y}, B={q,w,e,r} i C={p,o,i,u}, podem dir que B i C són dos subconjunts disjunts de A.

Conjunts complementaris

[modifica]

Quan la unió de dos subconjunts disjunts conté tots els elements del conjunt, es diu que són dos conjunts complementaris. De vegades, això s'expressa escrivint una "C" com a superíndex del conjunt.

Per exemple:
Si A={q,w,e,r,t,p,o,i,u,y}, B={q,w,e,r,t} i C={p,o,i,u,y}, llavors és clar que B i C són disjunts i que la seva unió és exactament A; per tant, podem dir que C és el complementari de B (respecte del conjunt A): C = A\B = BC.

Propietats de la inclusió

[modifica]

La inclusió, és una relació binària que compleix les propietats de les relacions d'ordre, és a dir:

Propietat reflexiva

[modifica]

Tot conjunt s'inclou a si mateix.

AA

Propietat antisimètrica

[modifica]

Donats dos conjunts A i B, només es pot donar que A inclogui B, i a la vegada B inclogui A quan els conjunts A i B són el mateix.

Si AB i BA, llavors és que A=B

Propietat transitiva

[modifica]

La propietat transitiva diu que si un conjunt s'inclou dins d'un altre conjunt, i aquest s'inclou dins d'un tercer, llavors el primer conjunt està inclòs dins del tercer conjunt.

Si AB i BC, llavors AC

Referències

[modifica]
  1. «Subset - Meaning, Examples | Proper Subset» (en anglès). [Consulta: 19 gener 2022].
  2. Subset a MathWorld (anglès)
  3. «Símbols de conjunts de la teoria de conjunts (Ø, U, {}, ∈, ...)». [Consulta: 18 gener 2022].
  4. «Lesson on Subsets | Math Goodies». [Consulta: 19 gener 2022].
  5. «Set Symbols». [Consulta: 19 gener 2022].

Vegeu també

[modifica]