Los espacios
son los espacios vectoriales normados más importantes en el contexto de la teoría de la medida y de la integral de Lebesgue. Reciben también el nombre de espacios de Lebesgue por el matemático Henri Lebesgue.
El espacio de Banach
se construye a partir del espacio vectorial
, este segundo es un espacio vectorial pero no es un espacio de Banach. Si sobre este segundo espacio se define una cierta relación de equivalencia de tal manera que las clases de equivalencia (formadas por funciones iguales casi en todas partes) sí constituyen un espacio vectorial normado que es un espacio de Banach.
Consideremos
un espacio de medida. Se define el espacio vectorial:
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mu }^{p}(X)\subseteq C^{-1}(X,\mathbb {C} )}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4be2b740ddbfbb1f130dd6980fd02f82c8acdc48)
para
como el espacio de todas las funciones medibles
que cumplen
![{\displaystyle \int _{X}|f|^{p}d\mu <\infty }](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/417917f423ee9f3fbd989ed0855955530a891503)
Asimismo, se define el espacio
como el espacio de las funciones medibles
que verifican:
![{\displaystyle \inf\{a\in \mathbb {R} :\mu (\{x\in X:|f(x)|\geq a\})=0\}<\infty }](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f4bd29e72e1a034429fc565bcfb6fed88b6e952)
es decir, aquellas funciones medibles acotadas excepto en un conjunto de medida nula.
Una norma natural para definir en estos espacios sería:
, si
, y ![{\displaystyle \|f\|_{\infty }=\inf\{a\in \mathbb {R} :\mu (\{x\in X:|f(x)|\geq a\})=0\}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc66aa497e428e232a9f461304309016511c7b51)
Sin embargo, una aplicación así definida no resulta norma, ya que no se cumple
, pues cualquier función que sea igual a la función nula, salvo en un conjunto de medida nula, tendrá norma cero.
Así, se define la siguiente relación de equivalencia
sobre
:
![{\displaystyle {\text{c.t.p.}},\ \left(i.e.\ \int |f-g|^{p}d\mu =0\right)}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a72732d578091d1b2d77d21756c048a0b40d52c)
Se prueba que efectivamente esta es una relación de equivalencia, y se define
![{\displaystyle L^{p}={\mathcal {L}}^{p}/R}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6581848385c56efc1198eeeb40f56b7c161b842a)
i.e., el espacio vectorial cuyos elementos son las clases de equivalencia de la relación
. Considerando entonces sobre
las normas anteriormente definidas (donde
es cualquier representante de la clase de equivalencia), se prueba que
resulta ser norma y que su valor no depende del representante de la clase de equivalencia escogido. Usualmente no se hace distinción entre función y clase de equivalencia en este contexto.
es un espacio de Banach.
es un espacio de Hilbert, dotado del producto interno
.
- Si
, entonces
se tiene que
.
- Si
es reflexivo.
- Si denotamos por
al espacio de las funciones simples, se cumple que
es denso en
.
- Si
, el dual topológico de
es
donde
es tal que
.
- Si el espacio de medida es
-finito, entonces el dual de
se identifica con
.
- Si
es un espacio topológico localmente compacto separado, y
es una medida regular, entonces
(el espacio de las funciones continuas a soporte compacto) es denso en
con
.
- El espacio de las funciones infinitamente derivables en un abierto
a soporte compacto y que están en
con
, es denso en
, es decir
.
Más en general, los espacios
se pueden definir para funciones que toman valores en un espacio de Banach arbitrario.[1] Sea
un espacio de medida y sea
un
espacio de Banach. Decimos que
es una
función escalón si existen
,
con
, y
, tales que
![{\displaystyle f(\omega )=\sum _{i=1}^{n}b_{i}\chi _{A_{i}}(\omega )\quad {\text{para casi todo }}\omega \in \Omega .}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/761cca02ca76f6a2c65a06fd01e9128ba3093590)
Denotaremos por
el conjunto de funciones escalón. Decimos que una
función
es Bochner medible si existe una
sucesión en
que tiende a
puntualmente.
Sea
el conjunto de clases de
equivalencia módulo igualdad para casi todo de funciones
Bochner medibles para las cuales existe un
tal que
![{\displaystyle m(\{\,\omega \in \Omega \mid \|f(\omega )\|_{B}>c\,\})<\infty .}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e256f749e86415fb784d9cc6f0f9fa61715c0178)
Para
, denotamos por
el
subespacio de
formado por las funciones
tales que
; denotamos por
el subespacio de
formado por las
funciones
tales que
. Estos espacios, equipados con la norma
![{\displaystyle \|f\|_{L_{p}(B)}=\left(\int _{}^{}\|f\|_{B}^{p}\,dm\right)^{1/p}\quad {\text{ para }}1\leq p<\infty \quad {\text{y}}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8303db800c9a00f0f0df11fd1b59170216d5addd)
![{\displaystyle \|f\|_{L_{\infty }(B)}=\inf\{\,a\in \mathbb {R} :\mu (\{\omega \in \Omega :\|f(\omega )\|_{B}\geq a\})=0\,\},}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dada991728ad252326f5f148cc191cf42f61235)
son espacios de Banach.
- ↑ Hytönen, Tuomas; van Neerven, Jan; Veraar, Mark; Weis, Lutz (2016). Analysis in Banach spaces. Volume I. Martingales and Littlewood-Paley theory. Cham: Springer. p. 21. ISBN 978-3-319-48519-5.