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Relación de orden

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En matemáticas, una relación de orden u orden parcial[a]​ es una relación binaria que pretende formalizar la idea intuitiva de ordenación de los elementos de un conjunto, es decir, que permite comparar sus elementos.

Los conjuntos dotados de un orden, llamados conjuntos ordenados, son el objeto de estudio de la teoría del orden.

Definición

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Sea un conjunto dado no vacío y una relación binaria definida en , entonces se dice que es una relación de orden si es:[1]

  1. Reflexiva Todo elemento de está relacionado consigo mismo. Es decir, .
  2. Antisimétrica: Si dos elementos de se relacionan entre sí, entonces ellos son iguales. Es decir,
  3. Transitiva: Si un elemento de está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir,

Dada una relación de orden sobre un conjunto , el par ordenado forma por definición un conjunto ordenado.

Un ejemplo de relación de orden es la inclusión en el conjunto potencia de un conjunto A. En este caso, hay pares de subconjuntos que no se pueden comparar: ni el primero está contenido en el segundo ni el segundo lo está en el primero.[2]​ En otras palabras, la inclusión no es una relación de orden total.

Órdenes parciales y totales

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Sea un conjunto dado, es una relación de orden total si y solo si la relación es de orden y todos los elementos de se relacionan entre sí, es decir,

.

  • Ejemplo es totalmente ordenado. En efecto, es:
    • Reflexivo: entonces (porque por definición, )
    • Antisimétrico: si y entonces
    • Transitivo: si y entonces
    • Orden total, pues

Sean a y b dos números naturales, entonces a ≤ b o b ≤ a.[3]

No todas las relaciones de orden son totales. Dos contraejemplos son:

  • (ℤ+, | ) no es totalmente ordenado con la relación a|b, "a divide b"; pues
    • 5 no divide a 12, ya que no existe h entero positivo tal que 12 = 5h. En todo caso, para cualquier h ∈ ℤ+, 12 ≠ 5h.[2]
    • 12 no divide a 5 tampoco.
  • Sea el conjunto y el conjunto potencia de , definido por:
Entonces es parcialmente ordenado, pero no totalmente, pues para
se tiene:

Nótese que las relaciones de orden total son un caso particular de las relaciones de orden parcial.

Relación de orden densa

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Una relación de orden parcial sobre un conjunto se dice densa (o densa-en -sí-misma) si, tales que , existe otro tal que .

  • Ejemplo 1: Los números racionales con la ordenación habitual son un conjunto densamente ordenado, al igual que los números reales. Si , entonces tenemos que satisface que:
  • Ejemplo 2: Los números enteros por otro lado con la ordenación habitual no son un conjunto densamente ordenado ya que entre un número entero y su siguiente no existe un número intermedio.Sin embargo, para cualquier existen los enteros y , tal que .[b]

Véase también

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Esquema de temas relacionados

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Teoría del orden
Bien ordenado
Orden total
Parcialmente ordenado
Preordenado
Relación reflexiva
Relación transitiva
Relación antisimétrica
Relación total
Relación bien fundada

Notas

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  1. Algunos autores reservan la expresión orden parcial para aquellos órdenes que no sean totales. Rojo, Armando. Álgebra 1. p. 91. 
  2. Esta propiedad permite definir la función máximo entero

Referencias

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  1. BIRKHOFF (1948), p. 1.
  2. a b Rojas: Álgebra I
  3. Rojas, Algebra I, (1972), pg. 91

Bibliografía

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  • Birkhoff, Garrett (1948). Lattice Theory (en inglés). New York: American Mathematical Society. 
  • Fraïssé, Roland (2000). Theory of Relations (en inglés) (1rst. (revised) edición). Amsterdam: Elsevier. ISBN 0-444-50542-3.