Nabla
![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4e/Harp.png/256px-Harp.png)
Nabla on differentiaalilaskennassa käytetty, kärjellään seisovan tasakylkisen kolmion muotoinen symboli (∇). Sillä voidaan merkitä skalaarifunktion (esim. lämpötila) ja vektorifunktion (esim. sähkökenttä, jolla on suunta) gradienttia sekä vektorifunktion divergenssiä tai roottoria.
Nimi nabla johtuu erään harppua muistuttavan soittimen kreikankielisestä nimestä, joka on lainattu hepreasta.[1] Symboli muistuttaa muodoltaan tätä soitinta.
Merkitykset
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Kolmiulotteisessa karteesisessa koordinaatiossa , jonka koordinaatit ovat (x, y, z), nabla määritellään osittaisderivaattojen avulla seuraavasti:
missä ovat x-, y- ja z-akselien suuntaiset yksikkövektorit. Määritelmä voidaan kuitenkin yleistää kuinka moniulotteiseen euklidiseen avaruuteen tahansa.
Vaikka , ja ovat funktion osittaisderivaattoja tarkoittavia operaattoreja, niitä voidaan määritelmissä muodollisesti käsitellä ikään kuin ne olisivat kertoimina esiintyviä lukuja[2] ja samoin nablaa ikään kuin se olisi vektori.
Gradientti
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- Pääartikkeli: Gradientti
Kun nablasymboli esiintyy avaruudessa määritellyn funktion edessä, se tarkoittaa funktion gradienttia, joka määritellään seuraavasti:
- .
Funktion f gradientti on vektorifunktio, joka osoittaa siihen suuntaan, jossa f kasvaa nopeimmin eli sen derivaatta tähän suuntaan saa maksimiarvonsa, ja sen suuruus on tämän funktion muuttumisnopeus kyseisessä suunnassa.[2] Havainnollisena esimerkkinä voidaan ajatella funktiota f, joka tarkoittaa maaston korkeutta maan päällä pisteessä, jonka koordinaatit ovat (x,y). Tämän funktion gradientti osoittaa tällöin, missä suunnassa mäki on jyrkin ja kuinka suuri on sen kaltevuuskulman tangentti.
Divergenssi
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- Pääartikkeli: Divergenssi
Vektoriarvoisen funktion eli vektorikentän divergenssi voidaan muodollisesti määritellä nablan ja itse funktion pistetulona. Jos funktio on
,
sen divergenssi on:
- .[3]
Divergenssi on siis skalaarifunktio, samoin kuin vektorien pistetulokin on skalaari. Divergenssi ilmoittaa käytännössä, kuinka voimakkaasti vektorifunktio kasvaa tai vähenee vektorin suuntaan mentäessä.
Roottori
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- Pääartikkeli: Roottori (matematiikka)
Avaruudessa määritellyn vektoriarvoisen funktion roottori voidaan muodollisesti määritellä nablan ja funktion ristitulona. Funktion
roottori on siis:
- .[4]
Funktion roottori on siis toinen vektoriarvoinen funktio. Se osoittaa, mihin suuntaan ja kuinka voimakkaasti alkuperäinen funktio on pyörteinen.
Määritelmä voidaan esittää lyhemmin kolmirivistä determinanttia muistuttavassa muodossa:
Fysiikassa sekä divergenssi- että roottorioperaattorit esiintyvät muun muassa Maxwellin yhtälöissä.
Laplacen operaattori
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- Pääartikkeli: Laplacen operaattori
Laplacen operaattori on skalaariarvoinen operaattori, jota voidaan soveltaa sekä skalaari- että vektoriarvoisiin funktioihin. Se määritellään seuraavasti:
- .
Sekin voidaan esittää myös nablan avulla:
- .
Laplacen operaattori esiintyy matemaattisessa fysiikassa monissa yhteyksissä kuten Laplacen yhtälössä, yleisessä aaltoyhtälössä ja Schrödingerin yhtälössä.
Laskusääntöjä
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Olkoon skalaarifunktioita sekä vektorikenttiä siten, että jokainen niistä ovat derivoituvia ja niiden osittaisderivaatat ovat jatkuvia. Tällöin seuraavat nablan laskusäännöt ovat voimassa:[5]
Lisäksi, mikäli :n ja :n toisen kertaluvun osittaisderivaatat ovat jatkuvia, pätevät myös seuraavat säännöt:[5]
- (Roottorin divergenssi on aina nolla.)
- (Gradientin roottori on aina nollavektori.)
Tietotekniikka
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Unicodessa nablan koodiarvo on U+2207. HTML:ssä se voidaan merkitä muodossa ∇
ja matemaattisten kaavojen kirjoittamiseen käytetyssä LaTeX-merkintäjärjestelmässä \nabla
.
Lähteet
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- ↑ The words of mathematics: An etymological dictionary Google Books. Viitattu 23.12.2011.
- ↑ a b c Olli Lehto: Differentiaali- ja integraalilaskenta II, s. 24-25. Limes ry, 1978.
- ↑ Lehto, s. 99
- ↑ a b Lehto, s. 69
- ↑ a b Adams, Robert A. & Essex, Christopher: Calculus: a complete course, s. 915. Pearson, 2014. ISBN 978-0-321-78107-9. (englanniksi)
Kirjallisuutta
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).