Paraabeli
![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9e/Parabola.svg/250px-Parabola.svg.png)
Paraabeli (kreik. παραβολή, parabolḗ, vanh. myös parabeli[1]) on matemaattinen tasokäyrä. Se on eräs kartioleikkauksista. Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on paraabeli. Paraabelilla kartioleikkauksena on ominaisuus, että sen kaltevuuskulma on aina yhtäsuuri kuin kyseistä paraabelia vastaavan ympyräkartion sivujanan kaltevuuskulma.[2]
Geometrinen määritelmä ja nimityksiä
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/Parabola_with_focus_and_directrix.svg/300px-Parabola_with_focus_and_directrix.svg.png)
![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Conic_Sections.svg/langfi-240px-Conic_Sections.svg.png)
Olkoon l tason suora ja P piste, joka ei ole suoralla l. Näihin liittyvä paraabeli on niiden pisteiden joukko, jotka ovat yhtä etäällä sekä suorasta l että pisteestä P. Suoraa l kutsutaan paraabelin johtosuoraksi ja pistettä P (myös F) polttopisteeksi.
Paraabelin akseli on polttopisteen kautta kulkeva johtosuoran normaali. Paraabeli on symmetrinen akselinsa suhteen. Paraabelin huippu on paraabelin leikkauspiste akselinsa kanssa.[3]
Paraabeli analyyttisessä geometriassa
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Pystysuora symmetria-akseli
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Jos paraabelin akseli on pystysuora, on paraabelin yhtälö karteesisessa koordinaatistossa . Tässä kertoimet a, b ja c ovat reaalilukuja ja lisäksi a on nollasta eroava.
Kertoimen a merkistä riippuu paraabelin aukeamissuunta: jos , aukeaa paraabeli ylöspäin, jos taas , aukeaa paraabeli alaspäin.
Paraabelin huippupisteen x-koordinaatti on
Tämä voidaan perustella differentiaalilaskennan avulla derivoimalla funktio ja määräämällä derivaatan nollakohta. Huippupisteen y-koordinaatti on
Vaakasuora symmetria-akseli
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Jos paraabelin akseli on vaakasuora, on sen yhtälö . Kertoimen a merkitys ja huippukohta ovat analogiset edellisten kanssa.[3]
Yleinen paraabeli
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Yleiselle paraabelille, jonka polttopiste on ja jonka johtosuora on muotoa , pätee yhtälö
Paraabeli funktion kuvaajana
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Toisen asteen polynomifunktioiden kuvaajat ovat paraabeleja. Yksinkertaisin tällainen funktio on . Kuvaajan muotoon ja sijaintiin vaikuttavat funktion parametrit ja .
Parametri vaikuttaa yleisesti paraabelin jyrkkyyteen, siis siihen, kuinka jyrkästi paraabeli aukeaa ylös tai alas. Parametrin arvo määrää myös paraabelin aukeamissuunnan: positiivisella :lla varustetun funktion kuvaaja aukeaa ylöspäin, ja negatiivisella :lla varustetun alaspäin.
Parametri vaikuttaa puolestaan kuvaajan sijaintiin sivusuunnassa ja myös pystysuunnassa. Voidaan myös huomata, että funktion kuvaajan huippupiste siirtyy :n vaihdellessa funktion kuvaajaa pitkin. Perustelu tälle mielenkiintoiselle havainnolle saadaan siitä, että paraabelin huippupisteen koordinaatit ja toteuttavat yhtälön
ja ovat siis funktion kuvaajalla.
Pisteen kautta kulkeva tangentti
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Tarkastellaan paraabelia , missä .
Pisteen kautta kulkevien tämän paraabelin tangenttien sivuamispisteiden koordinaatit saadaan tällöin yhtälöistä
Juurrettavan arvosta riippuen saadaan nolla, yksi tai kaksi tangenttia.
Jos , ts. piste sijaitsee tarkastellulla paraabelilla, saadaan yksi tangentti, jonka yhtälö saadaan kaavasta
Kun yo. yhtälön juurrettava saadaan kaksi sivuamispistettä ja kaksi tangenttia.
Kun , missä , on tällaisen tangentin sivuamispiste, sen yhtälö saadaan kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälöstä
Paraabelin peilaaminen huippupisteen suhteen
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Tarkastellaan paraabelia , , ja sen peilaamista huippupisteen kautta kulkevan tangenttinsa suhteen eli paraabelin "kääntämistä ylösalaisin" huippupisteen pysyessä paikallaan. Tämä voidaan ajatella tehtävän kahdessa vaiheessa:
(1) Peilataan paraabeli ensin -akselin suhteen. Tämä vaihtaa -koordinaatin etumerkin, ja päädytään paraabeliin , jonka huippu on pisteessä .
(2) Siirretään näin saatua paraabelia pystysuunnassa siten, että huippupiste tulee alkuperäisen paraabelin huippupisteeseen. Tarvittava pystysuuntainen siirto on suuruudeltaan . Tämä on selvää, koska huippupisteen -koordinaatti ei muuttunut vaiheessa (1), mutta -koordinaatti muuttui vastaluvuksi. Siirto johtaa paraabeliin
eli
.
Näin saadun paraabelin huippu on huippupisteen laskukaavan mukaisesti pisteessä , siis samassa pisteessä kuin alkuperäisen paraabelin huippupiste, kuten pitikin.
Kun siis ajatellaan, että paraabeli on kiinni vain huippupisteestään, ja se käännetään ylösalaisin, päädytään paraabeliin .
Esimerkki. Paraabelin peilikuva, eli "käännetty" paraabeli, on siis .
Paraabelin "kääntämisen" kaava on siis: .
Lähteet
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- ↑ Väisälä, Kalle: Algebran oppi- ja esimerkkikirja 2, pidempi kurssi. WSOY, 1966.
- ↑ Kivelä, Simo K.: Kartioleikkaukset Matta: Simo Kivelä. Viitattu 15.1.2016.
- ↑ a b Jäppinen, Paavo; Kupiainen, Alpo; Räsänen, Matti: Lukion Calculus 2. Otava, 2004. ISBN 951-1-19611-1.
Kirjallisuutta
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria. Espoo: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6.