Yhteenlasku
![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f7/PlusCM128.svg/120px-PlusCM128.svg.png)
Yhteenlasku on yksi aritmeettisista peruslaskutoimituksista ja se on ensimmäinen koululaisille opetettavista. Yhteenlaskuoperaatio yhdistää ainakin kaksi lukua, jotka ovat yhteenlaskettavat toiseksi luvuksi, summaksi. Esimerkiksi 1 + 2 = 3 (luetaan yksi plus kaksi on kolme ), jossa luku 1 on yhteenlaskettava, johon lisätään luku 2, eli yhteenlaskettava ja näin saadaan summa, eli luku 3. Yhteenlaskun käänteislaskutoimitus on vähennyslasku.
Yhteenlaskun tulosta kutsutaan summaksi.[1]
Formaali määritelmä luonnollisilla luvuilla
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Yhteenlaskuoperaatio + luonnollisilla luvuilla ℕ on kuvaus + : ℕ × ℕ → ℕ, +(a, b) = c, jossa a, b, c ∈ ℕ. Tavallisesti merkitään a + b = c.
Ominaisuuksia
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- On olemassa yksikäsitteinen (luonnollinen luku) c = a + b, eli +(a,b) = c.
- Yhteenlaskun liitäntälaki: (a + b) + c = a + (b + c), eli +((a+b),c) = +(a,(b+c))
- Yhteenlaskun vaihdantalaki: a + b = b + a, eli +(a,b) = +(b,a)
Nämä voidaan todistaa Peanon aksioomien avulla.
Voidaan myös osoittaa, että esimerkiksi ((a + b) + c) + d = a + b + c + d. Toisin sanoen yhteenlasku voidaan suorittaa useammallekin kuin kahdelle luvulle.
Esimerkkejä
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Vaikka yhteenlasku määritellään formaalisti luonnollisille luvuille, se on usein määritelty vastaavasti myös muissa lukujärjestelmissä. Esimerkiksi vektoreita voidaan laskea yhteen.
- Esimerkiksi kokonaisluvuille -3, -1 ja 2 pätee:
2 + (-1) = (-1) + 2 = 1, ((-3) + (-1)) + 2 = (-3) + ((-1) + 2) = -2 - Rationaaliluvuille m/n ja p/q yhteenlasku määritellään:
- Vektorien yhteenlasku määritellään seuraavasti:
- Olkoot ja vektoreita, esimerkiksi reaaliavaruudessa Rn.
- Määritellään, että .
- Toisin sanoen lasketaan vektorien vastaavilla kohdilla olevat arvot yhteen.
- Olkoot ja vektoreita, esimerkiksi reaaliavaruudessa Rn.
Yhteenlasku allekkain
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Yhteenlasku voidaan suorittaa paperilla ns. allekkainlaskuna.
Allekkainlaskussa luvut kirjoitetaan allekkain niin, että vastaavilla paikoilla olevat desimaalit ovat allekkain. Sitten lasketaan yhteen oikealta aloittaen vastaavat luvut.
Esimerkki:
12 jossa on 0 sataa, 1 kymmentä ja 2 ykköstä
+321 jossa on 3 sataa, 2 kymmentä ja 1 ykköstä
333 jossa on 3 = 2 + 1 ykköstä, 3 = 1 + 2 kymmentä ja 3 = 0 + 3 sataa
Kymmenjärjestelmässä luvun desimaalit ovat numerot nollasta yhdeksään, 0,1,...,9. Laskettaessa numeroita yhteen saadaan joskus summaksi yli kymmenen. Tällöin ylimenevä kymmenen on siirrettävä "muistiin" ja lisättävä seuraavana vasemmalla olevaan desimaalien summaan.
Esimerkki:
7656
+5555
Aloitetaan laskeminen oikealta: 6 + 5 = 11 > 10. Nyt merkitään 6 + 5 = 1, muistiin: 1.
1 7656 +5555 1
Jatketaan: 1 + 5 + 5 = 11 = 1, muistiin: 1.
11 7656 +5555 11
Ja
1111 7656 +5555 13211
Vastaavasti voidaan laskea allekkain myös useampia lukuja:
Esimerkki:
11222 34512 12451 12455 31245 12455 +12467 115585
Lähteet
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Aiheesta muualla
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Yhteenlasku Wikimedia Commonsissa