Carré parfait
En mathématiques, un carré parfait (ou nombre carré s'il est non nul, voire simplement carré s'il n'y a pas ambiguïté) est le carré d'un entier. Dans le système de numération décimal, le chiffre des unités d'un carré parfait ne peut être que 0, 1, 4, 5, 6, ou 9.
Définition et liste
[modifier | modifier le code]Un carré parfait est le carré d'un entier naturel.
Un nombre carré est un nombre polygonal (donc entier strictement positif) qui peut être représenté géométriquement par un carré de n × n points. Les nombres carrés sont donc les carrés parfaits non nuls, le n-ième étant n2.
Les 70 plus petits carrés parfaits sont[Note 1] :
02 = 0 52 = 25 102 = 100 152 = 225 202 = 400 252 = 625 302 = 900 352 = 1 225 402 = 1 600 452 = 2 025 502 = 2 500 552 = 3 025 602 = 3 600 652 = 4 225 12 = 1 62 = 36 112 = 121 162 = 256 212 = 441 262 = 676 312 = 961 362 = 1 296 412 = 1 681 462 = 2 116 512 = 2 601 562 = 3 136 612 = 3 721 662 = 4 356 22 = 4 72 = 49 122 = 144 172 = 289 222 = 484 272 = 729 322 = 1 024 372 = 1 369 422 = 1 764 472 = 2 209 522 = 2 704 572 = 3 249 622 = 3 844 672 = 4 489 32 = 9 82 = 64 132 = 169 182 = 324 232 = 529 282 = 784 332 = 1 089 382 = 1 444 432 = 1 849 482 = 2 304 532 = 2 809 582 = 3 364 632 = 3 969 682 = 4 624 42 = 16 92 = 81 142 = 196 192 = 361 242 = 576 292 = 841 342 = 1 156 392 = 1 521 442 = 1 936 492 = 2 401 542 = 2 916 592 = 3 481 642 = 4 096 692 = 4 761
Propriétés
[modifier | modifier le code]On considère a, b, et c des entiers naturels.
- 1. Si a et b sont des carrés parfaits, alors le produit ab est aussi un carré parfait.
- 2. a ≠ 0 ; a est un carré parfait si, et seulement si, tous les exposants dans sa décomposition en produit de facteurs premiers sont pairs.
- 3. ab ≠ 0 ; si ab est un carré parfait et si a et b sont premiers entre eux, alors a et b sont aussi des carrés parfaits[1].
Ne pas oublier la seconde condition. Par exemple : 12×3 = 62, mais 12 et 3 ne sont pas premiers entre eux ; 12 et 3 ne sont pas des carrés parfaits.
- 4. a ≠ 0 ; a(a + 1) et a(a + 2) ne sont pas des carrés parfaits.
- 5. a ≠ 0 ; a est un carré parfait si, et seulement si, le nombre de ses diviseurs est impair.
- 6. Un carré parfait ne peut se terminer que par 0, 1, 4, 5, 6, ou 9 dans le système décimal.
Les mathématiciens se sont souvent intéressés à certaines curiosités concernant les nombres carrés. La plus connue, notamment pour sa référence au théorème de Pythagore, est l'égalité 32 + 42 = 52, le plus petit des triplets pythagoriciens. D'après le théorème de Fermat-Wiles, démontré en 1995, il n'y a que les nombres carrés qui peuvent former une identité comme celle des triplets pythagoriciens. Par exemple, il n'y a aucune solution à l'équation a3 + b3 = c3 avec a, b, et c entiers non nuls.
- 7. La représentation du 1-ier nombre carré, 1, est un point. Celle du n-ième, n2, s'obtient en bordant deux côtés consécutifs du (n − 1)-ième carré de points par un « L » de 2n – 1 points, c.-à-d. en lui adjoignant le (n − 1)-ième gnomon :
- 8. 1 est à la fois le 1-ier nombre carré et le 1-ier nombre impair, et 2n – 1 est le n-ième nombre impair. Donc le n-ième nombre carré égale la somme des n plus petits nombres impairs :
- Cette propriété fournit un moyen pratique pour former une table de carrés[2]. Elle est aussi utilisée comme méthode d'extraction de racine carrée, y compris avec un boulier.
![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d8/The_sum_of_the_first_n_odd_integers_is_n%C2%B2._1%2B3%2B5%2B...%2B%282n-1%29%3Dn%C2%B2..gif/220px-The_sum_of_the_first_n_odd_integers_is_n%C2%B2._1%2B3%2B5%2B...%2B%282n-1%29%3Dn%C2%B2..gif)
![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Square_number_16_as_sum_of_two_triangular_numbers.svg/130px-Square_number_16_as_sum_of_two_triangular_numbers.svg.png)
- 9. Le n-ième nombre carré est égal à la somme du n-ième et du (n − 1)-ième nombres triangulaires :
- 10. La somme du n-ième et du (n − 1)-ième nombres carrés égale le n-ième nombre carré centré.
- 11. La somme des n plus petits nombres carrés est égale au n-ième nombre pyramidal carré :
- 12. est un carré parfait. Plus précisément :
Démonstrations
[modifier | modifier le code]- 2. Si a ≠ 0 est un carré parfait, alors il existe un entier m > 0 tel que a = m2. En notant la décomposition de en produit de facteurs premiers, on déduit : donc tous les exposants dans la décomposition de a sont pairs.
- Réciproquement : si tous les exposants dans la décomposition de a sont pairs, alors a est de la forme
- 3. Supposons que pgcd(a, b) = 1 et que ab = n2 où
- Notons c = pgcd(a, n). On a :
- De même, notons d = pgcd(b, n). On a :
- b = d2.
- 4. Il suffit de remarquer que
- 5. Par la propriété 3, a est un carré parfait si et seulement si les exposants jp dans sa décomposition en produit de facteurs premiers sont tous pairs, ce qui équivaut à l'imparité du produit Or ce produit est le nombre de diviseurs de a.
- 6. Cf. « Résidus quadratiques modulo 10 ».
- 12. Cf. « Somme des n premiers cubes ».
Concept associé
[modifier | modifier le code]On dit qu'un entier q est un résidu quadratique modulo un entier m s'il existe un entier n tel que :
- .
Ce concept permet notamment de démontrer que certaines équations diophantiennes n'admettent pas de solution. Par exemple, avec k entier, l'équation n'admet pas de solution dans . En effet, les résidus quadratiques modulo 4 étant 0 et 1, un carré parfait ne peut pas posséder un reste égal à 2 dans la division euclidienne par 4.
Notes et références
[modifier | modifier le code]Notes
[modifier | modifier le code]Références
[modifier | modifier le code]- « Cours d'arithmétique », sur Animath, p. 56.
- Anna et Élie Cartan, Arithmétique : Classes de 4e et de 3e, Paris, Armand Colin, , 5e éd., p. 161, paragraphe no 237.
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Articles connexes
[modifier | modifier le code]- Algèbre polynomiale
- Cube parfait
- Puissance quatrième parfaite
- Puissance parfaite
- Identité remarquable
- Identité de Brahmagupta
- Identité des quatre carrés d'Euler
- Identité des huit carrés de Degen
- Identité des seize carrés de Pfister (en)
- Nombre triangulaire carré
- Nombre automorphe
- Problème de Bâle
- Résidu quadratique
- Théorème des deux carrés
- Théorème des trois carrés
- Théorème des quatre carrés
- Sommes de carrés
Lien externe
[modifier | modifier le code]Carré parfait sur recreomath.qc.ca