Produto directo

En matemáticas, pódese definir a miúdo un produto directo de obxectos xa coñecidos, dando un novo. Isto induce unha estrutura sobre o produto cartesiano dos conxuntos subxacentes a partir dos obxectos contribuíntes. De forma máis abstracta, fálase do produto na teoría de categorías, que formaliza estas nocións.

Exemplos son o produto de conxuntos, grupos, aneis e outras estruturas alxébricas. tamén temos o produto dos espazos topolóxicos.

• Se pensamos ${\displaystyle \mathbb {R} }$ como o conxunto de números reais sen máis estrutura, entón o produto directo ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ é só o produto cartesiano ${\displaystyle \{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}.}$
• Se pensamos ${\displaystyle \mathbb {R} }$ como o grupo de números reais baixo adición, entón o produto directo ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ aínda ten ${\displaystyle \{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}}$ como o seu conxunto subxacente. A diferenza entre este e o exemplo anterior é que ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ agora é un grupo, polo que tamén temos que dicir como engadir os seus elementos. Isto faise definindo ${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).}$
• Se pensamos ${\displaystyle \mathbb {R} }$ como o anel dos números reais, daquela o produto directo ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ de novo ten ${\displaystyle \{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}}$ como o seu conxunto subxacente. A estrutura do anel consiste na suma definida por ${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}$ e na multiplicación definida por ${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac,bd).}$
• Aínda que o anel ${\displaystyle \mathbb {R} }$ é un corpo, ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ non o é, porque o elemento distinto de cero ${\displaystyle (1,0)}$ non ten inverso multiplicativo .

De xeito semellante, podemos falar do produto directo de un número finito de estruturas alxébricas, por exemplo, ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} .}$ Isto é posíbel debido a que o produto directo é asociativo ata isomorfismo. É dicir, ${\displaystyle (A\times B)\times C\cong A\times (B\times C)}$ para calquera estruturas alxébricas ${\displaystyle A,}$${\displaystyle B,}$ e ${\displaystyle C}$ do mesmo tipo. O produto directo tamén é conmutativo ata isomorfismo, é dicir, ${\displaystyle A\times B\cong B\times A}$ para calquera estrutura alxébrica ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ do mesmo tipo. Mesmo podemos falar do produto directo de infinitas estruturas alxébricas; por exemplo podemos tomar o produto directo de moitas copias contables de ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ que escribimos como ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \dotsb .}$

Na teoría de grupos pódese definir o produto directo de dous grupos ${\displaystyle (G,\circ )}$ e ${\displaystyle (H,\cdot ),}$ denotado por ${\displaystyle G\times H.}$ Para os grupos abelianos que se escriben aditivamente, tamén se pode denominar suma directa de dous grupos, denotada por ${\displaystyle G\oplus H.}$

Defínese do seguinte xeito:

• o conxunto dos elementos do novo grupo é o produto cartesiano dos conxuntos de elementos de ${\displaystyle G{\text{ e }}H,}$ é dicir ${\displaystyle \{(g,h):g\in G,h\in H\};}$
• sobre estes elementos ponse unha operación, definida a nivel de elementos: $${\displaystyle (g,h)\times \left(g',h'\right)=\left(g\circ g',h\cdot h'\right)}$$

Teña en conta que ${\displaystyle (G,\circ )}$ pode coincidir con ${\displaystyle (H,\cdot ).}$

Esta construción dá un novo grupo. Ten un subgrupo normal isomorfo a ${\displaystyle G}$ (dado polos elementos da forma ${\displaystyle (g,1)}$ ), e outro isomorfo a ${\displaystyle H}$ (que comprende os elementos ${\displaystyle (1,h)}$ ).

Na dirección contraria tamén se cumpre. Se un grupo ${\displaystyle K}$ contén dous subgrupos normais ${\displaystyle G{\text{ and }}H,}$ tal que ${\displaystyle K=GH}$ e a intersección de ${\displaystyle G{\text{ and }}H}$ contén só a identidade, daquela ${\displaystyle K}$ é isomorfo a ${\displaystyle G\times H.}$ Unha relaxación desta condición, de modo que só necesitásemos que un subgrupo fose normal, entón temos un produto semidirecto.

Como exemplo, tome como ${\displaystyle G{\text{ e }}H}$ dúas copias do único grupo (ata isomorfismos) de orde 2, ${\displaystyle C^{2}:}$ digamos ${\displaystyle \{1,a\}{\text{ e }}\{1,b\}.}$ Entón ${\displaystyle C_{2}\times C_{2}=\{(1,1),(1,b),(a,1),(a,b)\},}$ coa operación realizada elemento por elemento. Por exemplo, ${\displaystyle (1,b)^{*}(a,1)=\left(1^{*}a,b^{*}1\right)=(a,b),}$ e ${\displaystyle (1,b)^{*}(1,b)=\left(1,b^{2}\right)=(1,1).}$

Cun produto directo, obtemos a maiores algúns homomorfismos de grupo naturais: os mapas de proxección definidos por $${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}:G\times H\to G,\ \ \pi _{1}(g,h)&=g\\\pi _{2}:G\times H\to H,\ \ \pi _{2}(g,h)&=h\end{aligned}}}$$ e chámanse funcións de coordenadas.

Para calquera grupo ${\displaystyle (G,\circ )}$ e calquera número enteiro ${\displaystyle n>0,}$ a aplicación repetida do produto directo dá o grupo de todas as ${\displaystyle n}$-tuplas ${\displaystyle G^{n}}$ por exemplo ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ e ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

O produto directo para módulos (que non debe confundirse co produto tensor) é moi semellante ao definido para os grupos anteriormente, utilizando o produto cartesiano coa operación de adición por compoñentes, e a multiplicación escalar distribuíndose por todos os compoñentes. A partir de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ obtemos o espazo euclidiano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ o exemplo prototípico dun espazo vectorial real ${\displaystyle n}$-dimensional. O produto directo de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ e ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ é ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m+n}.}$

Teña en conta que un produto directo para un índice finito ${\textstyle \prod _{i=1}^{n}X_{i}}$ é canonicamente isomorfo á suma directa ${\textstyle \bigoplus _{i=1}^{n}X_{i}.}$ A suma directa e o produto directo non son isomorfos para índices infinitos.

O produto directo para unha colección de espazos topolóxicos ${\displaystyle X_{i}}$ para ${\displaystyle i}$ en ${\displaystyle I,}$ algún conxunto de índices, unha vez máis fai uso do produto cartesiano $${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}.}$$

Defínese a topoloxía para finitamente moitos factores: simplemente tomamos como base de conxuntos abertos a colección de todos os produtos cartesianos de subconxuntos abertos de cada factor: $${\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{U_{1}\times \cdots \times U_{n}\ :\ U_{i}\ \mathrm {aberto\in } \ X_{i}\right\}.}$$

Esta topoloxía chámase topoloxía do produto . Por exemplo, para definir directamente a topoloxía do produto ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ polos conxuntos abertos de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (unións disxuntas de intervalos abertos), a base desta topoloxía consistiría en todas as unións disxuntas de rectángulos abertos no plano (como se ve, coincide coa topoloxía métrica habitual).

Para obter máis propiedades e formulacións equivalentes, consulte a topoloxía produto.

Sobre o produto cartesiano de dous conxuntos con relacións binarias ${\displaystyle R{\text{ e }}S,}$ definimos ${\displaystyle (a,b)T(c,d)}$ como ${\displaystyle aRc{\text{ e }}bSd.}$ Se ${\displaystyle R{\text{ and }}S}$ son ambos os dous reflexivos, irreflexivos, transitivos, simétricos ou antisimétricos, entón ${\displaystyle T}$ tamén o será.^[1] Do mesmo xeito, a totalidade de ${\displaystyle T}$ é herdada de ${\displaystyle R{\text{ and }}S.}$ Ao combinar propiedades despréndese que isto tamén se aplica ao ser unha preorde e unha relación de equivalencia. Porén, se ${\displaystyle R{\text{ and }}S}$ son relacións conectadas, ${\displaystyle T}$ non precisa estar conectado; por exemplo, o produto directo de ${\displaystyle \,\leq \,}$ on ${\displaystyle \mathbb {N} }$ consigo mesmo non relaciona ${\displaystyle (1,2){\text{ con }}(2,1).}$

Se ${\displaystyle \Sigma }$ é unha sinatura fixada, ${\displaystyle I}$ é un conxunto de índices arbitrario (posiblemente infinito) e ${\displaystyle \left(\mathbf {A} _{i}\right)_{i\in I}}$ é unha familia indexada de ${\displaystyle \Sigma }$ álxebras, o produto directo ${\textstyle \mathbf {A} =\prod _{i\in I}\mathbf {A} _{i}}$ é unha ${\displaystyle \Sigma }$ álxebra definida como segue:

• O conxunto universo ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle \mathbf {A} }$ é o produto cartesiano dos conxuntos universo ${\displaystyle A_{i}}$ de ${\displaystyle \mathbf {A} _{i},}$ formalmente: ${\textstyle A=\prod _{i\in I}A_{i}.}$
• Para cada ${\displaystyle n}$ e cada ${\displaystyle n}$-aria operación de símbolo ${\displaystyle f\in \Sigma ,}$ a súa interpretación ${\displaystyle f^{\mathbf {A} }}$ en ${\displaystyle \mathbf {A} }$ defínese por compoñentes, formalmente: para todos os ${\displaystyle a_{1},\dotsc ,a_{n}\in A}$ e cada ${\displaystyle i\in I,}$ o ${\displaystyle i}$-ésimo compoñente de ${\displaystyle f^{\mathbf {A} }\!\left(a_{1},\dotsc ,a_{n}\right)}$ defínese como ${\displaystyle f^{\mathbf {A} _{i}}\!\left(a_{1}(i),\dotsc ,a_{n}(i)\right).}$

Algúns autores fan unha distinción entre un produto directo interno e un produto directo externo. Por exemplo, se ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ son subgrupos dun grupo abeliano aditivo ${\displaystyle G}$, tal que ${\displaystyle A+B=G}$ e ${\displaystyle A\cap B=\{0\}}$, entón ${\displaystyle A\times B\cong G,}$ e dicimos que ${\displaystyle G}$ é o produto directo interno de ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$. Para evitar ambigüidades, podemos referirnos ao conxunto ${\displaystyle \{\,(a,b)\mid a\in A,\,b\in B\,\}}$ como produto directo externo de ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$.

• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556

• Suma directa.
• Produto tensor.

• Produto directo en MathWorld.