Koordinatni sustav
![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/93/Number-line.svg/300px-Number-line.svg.png)
![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/Cartesian-coordinate-system.svg/300px-Cartesian-coordinate-system.svg.png)
![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Coord_system_CA_0.svg/300px-Coord_system_CA_0.svg.png)
![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3b/SkewCartesianSystem.svg/300px-SkewCartesianSystem.svg.png)
![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d3/Examples_of_Polar_Coordinates.svg/300px-Examples_of_Polar_Coordinates.svg.png)
![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/Coord_system_CY_1.svg/300px-Coord_system_CY_1.svg.png)
![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Kugelkoord-def.svg/300px-Kugelkoord-def.svg.png)
![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d9/Geographic_coordinates_sphere.svg/300px-Geographic_coordinates_sphere.svg.png)
![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8f/Ecliptic_equator_galactic_anim.gif/300px-Ecliptic_equator_galactic_anim.gif)
Koordinatni sustav je sustav koji omogućuje da se točke na krivulji, pravcu, plohi, u ravnini ili prostoru opišu s pomoću brojeva, takozvanim koordinatama.[1] U matematici i drugim područjima postoji više različitih koordinatnih sustava:
- brojevni pravac,
- Kartezijev ili pravokutni koordinatni sustav,
- polarni koordinatni sustav,
- cilindrični koordinatni sustav,
- sferni koordinatni sustav,
- zemljopisne koordinate,
- nebeski koordinatni sustavi.
Određivanje položaja s pomoću koordinata bilo je poznato već staroegipatskim graditeljima i babilonskim astronomima. Kartezijev koordinatni sustav uveo je René Descartes (latinizirano Renatus Cartesius). Descartesovo otkriće omogućilo je da se mnoga geometrijska tijela sustavno proučavaju znatno jačim metodama analitičke geometrije, algebre i analize; tako se na primjer krivulje proučavaju s pomoću jednadžbi koje zadovoljavaju koordinate njihovih točaka. Još je značajnije to što je u novije doba veza geometrije, algebre i analize omogućila da geometrijski zor, a time i mnogo plodnija intuicija, budu iskorišteni u rješavanju problema algebre i analize. Zato je Kartezijev koordinatni sustav temelj razvoja i uspjeha moderne linearne algebre (vektorski prostor), a zatim i mnogih njezinih nadgradnja (funkcionalne analize, diferencijalne geometrije, algebarske geometrije).
Brojevni pravac je pravac na kojem je svakomu realnom broju (realni brojevi obuhvaćaju i racionalne i iracionalne broje) pridružena jedna jedina točka. Brojevni pravac služi za predočivanje brojeva i grafičko računanje njima. Na pravcu se najprije odabere točka O (lat. origo: ishodište), koja predočuje nulu, a zatim jedinična točka 1. Dužina od O do 1 predočuje jediničnu duljinu. Točkama na desnoj strani od O odgovaraju pozitivni realni brojevi, a na lijevoj strani negativni. Bilo kojemu realnom broju x odgovara točka x, tako da je dužina Ox (mjerena jediničnom duljinom) jednaka x jediničnih duljina. Između bilo koja dva realna broja postoji beskonačno mnogo racionalnih brojeva i iracionalnih brojeva.
U ravnini je pravokutni Kartezijev koordinatni sustav određen s dva međusobno okomita pravca x i y na kojima su zadani Kartezijevi koordinatni sustavi, ishodišta kojih su u točki presjecišta pravaca x i y. Točki T ravnine pridružuju se dvije koordinate, apscisa i ordinata. Apscisa točke T koordinata je okomite projekcije te točke na pravac x, a ordinata je koordinata okomite projekcije te točke na pravac y. Na taj način svakoj je točki pridružen uređen par realnih brojeva (x, y). Pravci x i y nazivaju se koordinatne osi, a pravci njima paralelni koordinatne linije.
Pravokutni koordinatni sustav ili pravokutni Kartezijev koordinatni sustav u prostoru određen je trima međusobno okomitim pravcima x, y, z, koji se sijeku u ishodištu O, i s Kartezijevim koordinatnim sustavima na njima. Koordinate se tada zovu apscisa (na osi x), ordinata (na osi y) i aplikata (na osi z). Na taj način svakoj su točki u prostoru pridružena 3 realna broja (x, y, z).
Kosokutni koordinatni sustav ili kosokutni Kartezijev koordinatni sustav određen je pravcima koji nisu međusobno okomiti, kojemu koordinatne osi nisu međusobno okomite, a umjesto okomitih projekcija pojavljuju se kose projekcije. Katkad ga je prikladno koristiti umjesto pravokutnoga, na primjer u teoriji kristala.
Polarni koordinatni sustav je koordinatni sustav u ravnini i određen je ishodištem O i zrakom p s početkom u ishodištu (polarna os) i jediničnom točkom E. Točki T ravnine pripadaju tada njezine polarne koordinate: jedna je radijalna koordinata r = OT, a druga je amplituda φ, koja je mjerni broj kuta što ga zatvara zraka p sa zrakom kojoj je početak u ishodištu i koja prolazi kroz T.
Prijelaz iz Kartezijevih koordinata u ravnini u polarne koordinate u ravnini računa se prema jednadžbama:
a prijelaz iz polarnih u Kartezijeve koordinate prema jednadžbama:
Bipolarni koordinatni sustav u ravnini sadrži dva pola.
Cilindrični koordinatni sustav je koordinatni sustav u prostoru i određen je ishodištem O, zrakom p s početkom u ishodištu i pravcem z koji je okomit na zraku p i prolazi kroz ishodište. Nekoj točki P pridružuju se koordinate (ρ, φ, z) gdje je ρ udaljenost okomita na pravac z od točke P do ishodišta, φ je kut koji projekcija vektora OP zatvara na ravninu u kojoj se nalazi zraka p sa zrakom p, a z udaljenost paralelna na os z od točke P do ishodišta.
Prijelaz iz Kartezijevih u cilindrične koordinate u prostoru računa se prema jednadžbama:
a prijelaz iz cilindričnih u Kartezijeve koordinate prema jednadžbama:
Sferni koordinatni sustav određen je ishodištem O i međusobno okomitim polupravcima p i z. Nekoj točki P pridružuju se koordinate (r, φ, θ) gdje je r koordinata jednaka udaljenosti od ishodišta do točke P, koordinata φ kut je od projekcije vektora OP na ravninu okomitu na poluos z i koordinatu θ, θ je kut koji vektor OP zatvara s poluosi z. Sve su točke prostora jednoznačno određene kad su vrijednosti sfernih koordinata ograničene: 0 < ρ < ∞, –π < φ < π, 0 < θ < π.
Prijelaz iz Kartezijevih u sferne koordinate u prostoru računa se prema jednadžbama:
a prijelaz iz sfernih u Kartezijeve koordinate prema jednadžbama:
U geodeziji i kartografiji položaj točke na Zemljinoj plohi često se određuje zemljopisnim koordinatama. Za istu se namjenu katkad koristi i pravokutni koordinatni sustav na sferi, u kojem se za apscisu, umjesto pravca, najčešće uzima meridijan promatranoga područja. Za ishodište koordinatnoga sustava odabire se točka na meridijanu, obično u središtu promatranoga područja. Apscisa neke točke udaljenost je mjerena uzduž meridijana, od ishodišta do presjeka s velikom kružnicom (presjecište kugline plohe s ravninom koja prolazi njezinim središtem) koja prolazi danom točkom i okomita je na meridijan. Duljina luka te okomice ujedno je i ordinata točke.
Nebeski koordinatni sustavi su sferni koordinatni sustavi u kojem je položaj nebeskog tijela određen dvjema koordinatama definiranog sfernog koordinatnog sustava. U astronomiji razlikujemo 5 nebeskih koordinatnih sustava:[2]
- horizontski (azimutski) koordinatni sustav
- mjesni ekvatorski koordinatni sustav
- nebeski ekvatorski koordinatni sustav
- ekliptički koordinatni sustav
- galaktički koordinatni sustav
- ↑ koordinatni sustavi, [1] "Hrvatska enciklopedija", Leksikografski zavod Miroslav Krleža, www.enciklopedija.hr, 2018.
- ↑ Vladis Vujnović : "Astronomija", Školska knjiga, 1989.