Ekvivalenciareláció

A matematikában ekvivalenciareláció (vagy röviden ekvivalencia) alatt olyan relációt értünk, amely egyszerre reflexív, szimmetrikus és tranzitív.

Legyen ${\displaystyle \sim }$ tetszőleges reláció az ${\displaystyle A}$ halmazon. Azt mondjuk, hogy a ${\displaystyle \sim }$ reláció ekvivalenciareláció, ha az alábbi három feltétel teljesül:

• a ${\displaystyle \sim }$ reláció reflexív, azaz minden ${\displaystyle a\in A}$ esetén ${\displaystyle a\sim a}$ teljesül,
• a ${\displaystyle \sim }$ reláció szimmetrikus, azaz minden ${\displaystyle a,b\in A}$ esetén ha ${\displaystyle a\sim b}$ teljesül, akkor ${\displaystyle b\sim a}$ is teljesül,
• a ${\displaystyle \sim }$ reláció tranzitív, azaz minden ${\displaystyle a,b,c\in A}$ esetén ha ${\displaystyle a\sim b}$ és ${\displaystyle b\sim c}$ teljesül, akkor ${\displaystyle a\sim c}$ is teljesül.

• Minden ${\displaystyle \sim }$ ekvivalenciareláció egyértelműen meghatároz egy osztályozást azon az ${\displaystyle A}$ halmazon, amelyen a reláció definiálva van: az ${\displaystyle a,b\in A}$ elemek pontosan akkor kerülnek egy osztályba ebben az osztályozásban, ha ${\displaystyle a\sim b}$ teljesül.
• Fordítva: valamely ${\displaystyle A}$ halmaz minden osztályozása egyértelműen meghatároz egy ekvivalenciarelációt az adott halmazon. Ennél az ekvivalenciarelációnál pontosan azok az elemek állnak relációban egymással, amelyek az osztályozásnak ugyanabban az osztályában vannak.

• A legegyszerűbb és legfontosabb példa az egyenlőségreláció
• A logikai ekvivalencia a logikában
• Izomorfizmus az absztrakt algebrában
• Kongruencia a számelméletben
• Az "úttal való elérhetőség" gráfok csúcsai között.
• Síkidomok egybevágósága és hasonlósága.

• Rédei László: Algebra I., Akadémiai Kiadó, Budapest, 1954
• Szendrei Ágnes: Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged, 1994

• Alice és Bob - 13. rész: Alice és Bob eladósodik
• Alice és Bob - 18. rész: Alice és Bob felcsavarja a számegyenest