Ugrás a tartalomhoz

Koszinusztétel

Ellenőrzött
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jelölések

A koszinusztétel a derékszögű háromszögekre vonatkozó Pitagorasz-tétel általánosítása tetszőleges háromszögekre. Az ábra jelöléseivel:

vagy másként:

Bizonyítások

[szerkesztés]

Háromszögekre bontással

[szerkesztés]

A tétel bizonyítható egy háromszög két derékszögű háromszögre való felbontásával.

Koszinusztétel bizonyítása

Ekkor az ábrán bal oldalon látható derékszögű háromszögre felírva a Pitagorasz-tételt kapjuk az állítást:

felhasználva a trigonometriai azonosságot. QED

Megjegyzés

Ez a bizonyítás egy kisebb módosítást igényel, ha . Ebben az esetben a bal oldali háromszög, amire felírtuk a Pitagorasz-tételt, a háromszögön kívül lesz. A változás a bizonyításban csupán az, hogy helyett szerepel. Mivel a bizonyításban ennek a mennyiségnek csak a négyzete szerepel, a bizonyítás maradék része változatlan marad.

Vektorok segítségével

[szerkesztés]

Az háromszög adott. -ből indítsuk a helyvektorokat. -ba mutató vektor legyen . -be mutató vektor legyen . Az és vektorok hajlásszöge legyen .

Ekkor . (Mert a skaláris szorzat disztributív a vektorösszeadásra nézve.) QED

Koordinátarendszerben

[szerkesztés]
Koszinusztétel bizonyítása koordináta-rendszerben

Helyezzük el az -et derékszögű Koordináta-rendszerben úgy, hogy a csúcs az origóba essen, és a csúcs az x tengelyre kerüljön. A háromszögben legyen adott oldal és a szög, így a csúcs koordinátái . Ekkor az csúcs koordinátái .[* 1] Az oldal hosszúságára a Pitagorasz-tétel alkalmazásával kapjuk:

QED

Megjegyzés

A bizonyítás során nem kellett figyelembe venni a két oldal által bezárt szög típusát, ezért bármilyen háromszögre általánosan igaz. Emellett minimalista abban a tekintetben, hogy a lehető legkevesebb előfeltétellel él (pont koordinátái, Pitagorasz tétele).

Alkalmazások

[szerkesztés]

A koszinusztétel segítségével meg lehet határozni egy háromszög többi adatát két oldalából és az általuk közbezárt szögből vagy három oldalból. Az utóbbi esetben célszerű a meghatározást a legnagyobb oldallal szemközti szöggel kezdeni, így ugyanis a többi szög a szinusztétel használatával is egyértelmű lesz (mivel ezek már biztosan hegyesszögek).

Megjegyzések

[szerkesztés]
  1. Ezt akár a polárkoordinátákból, akár az A pont vetületeiből ki tudjuk deríteni.

Források

[szerkesztés]

Kapcsolódó szócikkek

[szerkesztés]