Paralelograms
Izskats
![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/41/Parallelogram.svg/220px-Parallelogram.svg.png)
Paralelograms ir četrstūris, kuram pretējās malas ir pa pāriem paralēlas (vārds "paralelograms" ir cēlies no grieķu "παραλληλ-όγραμμον" jeb "paralēlas taisnes").
Īpašības
[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]Paralelogramam piemīt šādas īpašības:
- pretējās malas ir paralēlas un vienāda garuma;
- pretējie leņķi ir vienādi un jebkuru divu secīgu leņķu summa ir 180°;
- paralelograma diagonāļu krustpunkts sadala katru no diagonālēm divās daļās ar vienādu garumu;
- paralelograma smaguma centrs atrodas tā diagonāļu krustpunktā (jebkura taisne, kas iet caur paralelograma diagonāļu krustpunktu, sadala paralelogramu divās daļās ar vienādu laukumu);
- visu četru malu garumu kvadrātu summa ir vienāda ar diagonāļu garumu kvadrātu summu (paralelograma likums).
- attālumu summa no jebkura punkta iekšā paralelogramā līdz malām ir neatkarīga no atrašanās vietas (Viviani teorēmas paplašinājums)
Laukuma aprēķināšana
[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]Formula paralelograma laukuma aprēķināšanai
![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/84/Parallelogram_area.svg/250px-Parallelogram_area.svg.png)
Lai aprēķinātu attēlā redzamā zilā paralelograma laukumu, no taisnstūra laukuma ir jāatņem divu dzelteno trijstūru laukums.
Laukums taisnstūrim, kas satur paralelogramu un abus trijstūrus, ir
Viena dzeltenā trijstūra laukums ir
tāpēc zilā paralelograma laukums ir
Paralelograma laukumu S var aprēķināt pēc šādām formulām:
- Ja B ir paralelograma pamata garums un H ir paralelograma augstums, tad
- Ja divas secīgas paralelograma malas veido leņķi θ un to garumi ir B un C, tad
- kur sin θ ir leņķa θ sinuss.
- Ja divu secīgu paralelograma malu garumi ir B un C (B ≠ C) un tā diagonāles veido leņķi γ, tad
- kur |tg γ| ir leņķa γ tangensa absolūtā vērtība.
Izmantojot virsotņu koordinātas
[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]- Ja vektori un atbilst divām secīgām paralelograma malām un
- ir 2×2 matrica, kas satur vektoru un komponentes, tad atbilstošā paralelograma laukumu var izteikt ar šo vektoru pseidoskalāro reizinājumu jeb matricas M determinantu:
- Ja vektori un atrodas n dimensiju telpā un
- ir 2×n matrica, kas satur vektoru un komponentes, tad atbilstošā paralelograma laukums ir vienāds ar
- kur MT ir matricas M transponētā matrica.
- Ja , un ir trīs paralelograma virsotņu koordinātas, tad tā laukumu var izteikt ar determinantu no 3×3 matricas, kuras pirmās divas kolonnas satur doto vektoru x un y koordinātas, bet visi pēdējās kolonnas elementi ir vienādi ar 1:
Īpašie gadījumi
[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]- Rombs — paralelograms, kam visas malas ir vienāda garuma;
- Taisnstūris — paralelograms, kam visi leņķi ir vienādi;
- Kvadrāts — četrstūris, kas vienlaikus ir gan rombs, gan taisnstūris (tā visi leņķi ir vienādi un tāpat arī visas malas).
Skatīt arī
[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]Ārējās saites
[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]Vikikrātuvē par šo tēmu ir pieejami multivides faili. Skatīt: Paralelograms.
- Encyclopædia Britannica raksts (angliski)
- Eric W. Weisstein, Parallelogram, MathWorld.
- Paralelograms, LIIS.
- Paralelograms[novecojusi saite] (Flash prezentācija).
- S.Čerņajeva, I.Volodko, Četrstūri (īss teorijas izklāsts)[novecojusi saite], RTU.