Отсечка
![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5f/Wiki_prava_otsecka.png)
Во геометријата, отсечка се опишува како дел од права помеѓу две посебни точки на правата. Отсечка секогаш ги содржува сите точки помеѓу крајните точки, а може, но не мора да ги содржи едната или двете крајни точки.[1]
- Во Евклидовата геометрија, за посебни (дистинктни) точки А и В, постои една единствена отсечка со крајни точки А и B и истата се означува со .
- Отсечка е еднодимензионален објект, т.е. има 0 ширина и 0 висина.
- Отсечка има краеви така да има одредена должина која е растојанието помеѓу крајните точки.
Дефиниција на отсечка
[уреди | уреди извор]Нека А и В се две посебни точки. Отсечката е множеството на сите точки каде што .
Средина (средна точка) на отсечка
[уреди | уреди извор]![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/08/Wiki_otsecka_primer_va.png)
Оди на интерактивноста [2]
Нека А и В се две посебни точки. Тогаш средина, односно средната точка на отсечката е точката .
- Во 2-димензионален простор: .
Средната точка е: .
Пример: Нека и . Средната точка на отсечката e: .
- Забележете дека ова е точката C од дефиницијата C=A(1-t)+Bt каде што t=0.5, т.е. на средината на интервалот [0,1].
Пропорционалноста важи и потаму. На пример, се заменува t=1⁄3 за да се добие точката C на отсечката која е 1⁄3 од патот од А до Во: .
Должина на отсечка
[уреди | уреди извор]![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5f/Segment_length.gif)
Должината на e и растојанието помеѓу А и В. Истата се означува со .
Во 2-димензионален простор:
- Должина на отсечка паралелна со х-оската, односно со крајни точки A=(x1,y) и B=(x2,y) со истата у-координата и x2>x1 е: .
- Должина на отсечка паралелна со y-оската, односно со крајни точки A=(x,y1) и B=(x,y2) со истата x-координата и y2>y1 е: .
- Точки: . Должината на е:
Пример: Нека и . Должината на отсечката e: .
Во 3-димензионален простор:
- Точки: . Должината на е:
Доказ: Се користи Питагорова теорема.[3]
- Во 2Д: Во анимацијата е опишана наједноставната верзија каде што x2>x1 и y2>y1. За произволни точки А и В, едноставно треба да се додава апсолутна вредност околу двете разлики |x2 - x1| и |y2 - y1|. Потоа по примена на Питагорова теорема и поради тоа што (|x|)2=x2, знаковите за апсолутна вредност се бришат како непотребни.
- Во 3Д: Двапати се користи Питагорова теорема. Најпрво се формира помошна точка со истата z-координата како А така да А и B' лежат на истата рамнина z=z1. Се користи формулата од 2Д, односно Питагорова теорема со што . Сега повторно се корисити Питагорова теорема на триаголникот со темињата А, B' и В забележувајќи дека за да се доби дадената формула.
Крајни точки
[уреди | уреди извор]Крајните точки можат, но не морат да бидат вклучени во отсечката. Геометриски тоа се означува со полни или празни кружници, т.е.
- крајна точка е вклучена во отсечката ако точката е означена со полна кружница и
- крајна точка е исклучена во отсечката ако точката е означена со празна кружница и
Има 4 можни случаи.
- затворена отсечка каде што двете крајни точки се вклучени,
- отворена отсечка каде што двете крајни точки се исклучени,
- полуотворена отсечка каде што почетната крајна точка е вклучена, а крајната крајна точка е исклучена и
- полуотворена отсечка каде што почетната крајна точка е исклучена, а крајната крајна точка е вклучена.
![]() Затворена отсечка C=A(1-t)+Bt, t ∈ [0,1] |
![]() Отворена отсечка C=A(1-t)+Bt, t ∈ (0,1) |
![]() Полуотворена отсечка C=A(1-t)+Bt, t ∈ [0,1) |
![]() Полуотворена отсечка C=A(1-t)+Bt, t ∈ (0,1] |
Ориентирана отсечка
[уреди | уреди извор]При дефиницијата: C=A(1-t)+Bt, t ∈ [0,1] следува дека
- Кога t=0, C=A e почетната точка на отсечката, а
- Кога t=1, C=В e крајната точка на отсечката.
Тоа значи дека самиот интервал t ∈ [0,1] ја ориентира, т.е. ја усмерува отсечката од А до В.[4]
Параметарски облик на отсечка
[уреди | уреди извор]Нека се дадени две точки А(x1,y1,z1) и B=(x2,y2,z2).
- Параметарски облик на ориентираната отсечка која почнува во А, а завршува во В е ограничување на параметарскио облик на правата која врви низ А и В за t ∈ [0,1], односно
каде што , [5]
(Во 2-димензионален простор се отфрлува се со z-координатите.)
Отсечка и векторски простори
[уреди | уреди извор]Ако V е векторски простор над или , и L е подмножество на V, тогаш L е (затворена) отсечка ако L може да се пиши во параметарски облик како: за некои вектори . Во тој случај векторите u и u + v се викаат крајните точки на L. (Ако t ∈ (0,1), отсечката е отворена.) [6]
Литература
[уреди | уреди извор]- ↑ „Line Segment“. Math Open Reference. интерактивен (англиски)
- ↑ „Отсечка“. Л.Стојановска. интерактивен (македонски)
- ↑ http://www.regentsprep.org/Regents/math/geometry/GCG3/Ldistance.htm Архивирано на 8 септември 2013 г. (англиски)
- ↑ C.Clapham, J.Nicholson (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics“ (PDF). Addison-Wesley. Directed Line Segment стр.237 (англиски)
- ↑ http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/LineIntegralsPtI.aspx (англиски)
- ↑ http://planetmath.org/LineSegment (англиски)
Поврзани теми
[уреди | уреди извор]Надворешни врски
[уреди | уреди извор]- Геогебра наредба: Отсечка (македонски)
- http://www.youtube.com/watch?v=iA-kpdSz4mw видео за пресметување на должина на отсечка (англиски)
- http://en.wikipedia.org/wiki/Line_segment (англиски)