Deelverzameling
![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b0/Venn_A_subset_B.svg/260px-Venn_A_subset_B.svg.png)
omvat .
In de verzamelingenleer is een deelverzameling van een gegeven verzameling een verzameling die geheel bevat is in (deel is van) de gegeven verzameling. Elk element van de deelverzameling is dus ook element van de gegeven verzameling. Als ieder element van de verzameling ook een element is van de verzameling , dan is een deelverzameling van , genoteerd als .
Iedere verzameling is een deelverzameling van zichzelf, voor iedere verzameling geldt dus .
De omgekeerde definitie is minder gebruikelijk. Als een deelverzameling is van zegt men ook dat de verzameling omvat, genoteerd als .
Strikte deelverzameling
[bewerken | brontekst bewerken]Een deelverzameling van die niet gelijk is aan , wordt een echte, strikte of eigenlijke deelverzameling genoemd. Formeel: is een strikte deelverzameling van als:
- en
Verschillende schrijfwijzen
[bewerken | brontekst bewerken]Als een strikte deelverzameling is van , wordt dat door sommige auteurs genoteerd als:
- .[1]
De meeste auteurs noteren als een willekeurige deelverzameling van is, dus eventueel .
Er zijn dus twee notatiesystemen in omloop voor het aangeven van (echte) deelverzamelingen:
- Het oudste systeem gebruikt het symbool om elke deelverzameling aan te geven en kent het symbool niet.
- Een nieuwer systeem gebruikt het symbool voor een willekeurige deelverzameling en voor een echte deelverzameling. Dit notatiesysteem sluit aan bij dat van de partiële orde in het algemeen en de bijbehorende strikte versie.
Voorbeelden
[bewerken | brontekst bewerken]- {1,2} ⊂ {1,2,3} - De verzameling {1,2} is een echte deelverzameling van {1,2,3}.
- {1,2,3} ⊆ {1,2,3} - De verzameling {1,2,3} is een deelverzameling van zichzelf.
- De verzameling van natuurlijke getallen is een echte deelverzameling van de verzameling van de rationale getallen.
- De verzameling priemgetallen groter dan 2000 is een echte deelverzameling van de verzameling oneven getallen groter dan 2000:
- Elke verzameling is een deelverzameling van zichzelf, maar geen echte deelverzameling.
- De lege verzameling, geschreven als {} of als , is een deelverzameling van elke verzameling. De lege verzameling is altijd een echte deelverzameling, behalve van zichzelf.
- Het begrip hyponiem in de taal komt overeen met het begrip deelverzameling.
Machtsverzameling
[bewerken | brontekst bewerken]De verzameling van alle deelverzamelingen van een verzameling wordt de machtsverzameling van genoemd en genoteerd als of als . Per definitie is dus:
- .
Bronvermelding
[bewerken | brontekst bewerken]- ↑ Dictaat TI1300 Redeneren en Logica, (Delft: Delft Univerity Press).