Miara dyskretna
Miara dyskretna (ang. discrete measure) – miara określona na przestrzeni mierzalnej , która danemu zbiorowi przyporządkowuje jego wielkość w oparciu o to, ile elementów pewnego ciągu o wyrazach w on zawiera. Naturalnym przeciwieństwem miary dyskretnej jest miara ciągła, która spełnia równość dla każdego , tzn. każdy jednoelementowy podzbiór ma miarę 0[1].
Definicja
[edytuj | edytuj kod]Niech będzie taką przestrzenią mierzalną, że dla każdego zbiór należy do σ-algebry . Miarę skończoną lub σ-skończoną nazwiemy dyskretną, jeśli istnieje przeliczalny zbiór taki, że [1].
Konstrukcja miary
[edytuj | edytuj kod]Miarę dyskretną na przestrzeni mierzalnej , gdzie to σ-algebra Borela, można zdefiniować przy pomocny odpowiedniej dystrybuanty. Dla danego zbioru przeliczalnego definiujemy funkcję oraz funkcję sumującą ,
.
Wówczas
oraz
.
Miara zachowuje wszystkie klasyczne własności miary zdefiniowanej za pomocą dystrybuanty.
Własności
[edytuj | edytuj kod]Niech będzie miarą dyskretną określoną na przestrzeni oraz niech będzie odpowiadającym jej przeliczalnym zbiorem. Wówczas dla dowolnej funkcji mierzalnej oraz zachodzi[2]
.
Dowód: Podaną całkę można przeformułować, korzystając ze zbioru .
.
Zastosowanie w teorii liczb
[edytuj | edytuj kod]Miara dyskretna znajduje swoje zastosowania w teorii liczb, np. w dowodzie twierdzenia o liczbach pierwszych korzystającym jedynie z teorii miary i metod elementarnych. Wynika to z charakteru wykorzystywanych tam funkcji sumujących, m.in. funkcji Czebyszewa. Są one nieujemne i ciągłe prawostronnie, więc można przyjąć je za dystrybuanty odpowiednich miar. Dodatkowo, przy określeniu odpowiedniego multiplikatywnego splotu miar zachowującego własności splotu Dirichleta, można wyprowadzić miarowy analogon tożsamości Selberga, na której oparta jest większość dowodów elementarnych[2].
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ a b Donald L. Cohn , Measure Theory, „Birkhäuser Advanced Texts Basler Lehrbücher”, 2013, s. 11, DOI: 10.1007/978-1-4614-6956-8, ISSN 1019-6242 .
- ↑ a b Russell Jahn , A Measure Theoretic Approach to Problems of Number Theory with Applications to the Proof of the Prime Number Theorem, „All Graduate Theses, Dissertations, and Other Capstone Projects”, 2016, s. 18 [dostęp 2024-04-22] (ang.).