Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Trójkąt z zaznaczonymi środkowymi (czarne linie), dwusiecznymi (przerywane) i symedianami (czerwone).
Symediana – prosta Cevy będąca odbiciem symetrycznym środkowej trójkąta względem dwusiecznej wychodzącej z tego samego wierzchołka. Symediany przecinają się w jednym punkcie (zwanym punktem Lemoine’a), jak wiele innych charakterystycznych prostych Cevy.
Jeżeli czworokąt
jest wpisany w okrąg, to następujące fakty są równoważne (jeśli zachodzi jeden z nich, to automatycznie zachodzą pozostałe):
- półprosta
jest symedianą w trójkącie ![{\displaystyle \Delta ACD,}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/841dd7f4f81799f02b09a6e8bc20357090ae8a49)
![{\displaystyle |AB|\cdot |CD|=|BC|\cdot |AD|,}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38e8f6b88716f1e69d605d73ea054dde4312bebc)
- styczne do okręgu opisanego na czworokącie w punktach
i
(zielone) oraz prosta przechodząca przez punkty
i
(niebieska) są współpękowe.
Jeżeli w
przez
oznaczymy punkt przecięcia symediany poprowadzonej z punktu
z bokiem
to zachodzi równość:
![{\displaystyle {\frac {AX}{BX}}={\frac {AC^{2}}{BC^{2}}}.}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56eda8e1b611400cf043baed96bd7f7a8b228b12)
Niech
będzie środkiem boku
Wtedy z twierdzenia sinusów mamy:
![{\displaystyle {\frac {|BC|}{\sin \angle BC'C}}={\frac {|BC'|}{\sin \angle BCC'}},}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a3739662ecc59e23ca0e274742585771d49ec8)
![{\displaystyle {\frac {|AC|}{\sin \angle AC'C}}={\frac {|AC'|}{\sin \angle ACC'}},}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d5fd6ad2aa13f0266986caf80ed64a8271e7518)
zatem
![{\displaystyle {\frac {|BC|}{|AC|}}={\frac {\sin \angle ACC'}{\sin \angle BCC'}}.}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6901ebdef9210803597fbcf438703e69f71f8c2e)
Ponieważ symediana jest odbiciem środkowej w dwusiecznej, to
oraz ![{\displaystyle \angle ACC'=\angle BCX,}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc240c588fee7ed3387da1eb9da05d2f2c414a51)
więc
Z twierdzenia sinusów mamy też, że
![{\displaystyle {\frac {|AC|}{\sin \angle AXC}}={\frac {|AX|}{\sin \angle ACX}},}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e5a8ec9b163d6c043a4a1290a3ad63dd79c5d45)
![{\displaystyle {\frac {|BC|}{\sin \angle BXC}}={\frac {|BX|}{\sin \angle BCX}},}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a210085c83f110a109851e2801a81f68a6714a89)
więc
![{\displaystyle {\frac {|AX|}{|BX|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}\cdot {\frac {\sin \angle BXC}{\sin \angle AXC}}\cdot {\frac {\sin \angle ACX}{\sin \angle BCX}}.}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/405ad892dd64383ae6447006b303c4991bf9f5c7)
więc
stąd
![{\displaystyle {\frac {|AX|}{|BX|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}\cdot {\frac {\sin \angle ACX}{\sin \angle BCX}},}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57b093366c1050a535cb6d5acb62e22d3f620001)
![{\displaystyle {\frac {|AX|}{|BX|}}={\frac {|AC|^{2}}{|BC|^{2}}}.}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/249b3332324441c8f69cab53eafc8aef658851ca)