Trójkąt Sierpińskiego
![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0a/Sierpi%C5%84ski_triangle_zoom_animation.gif)
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali. Znany był na długo przed powstaniem tego pojęcia (patrz: Benoît Mandelbrot). Konstrukcja tego zbioru została podana przez polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego w 1915 roku[1].
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się (bez boków), a wobec trzech pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy (bez boków), a wobec pozostałych trójkątów czynności się powtarzają. Po każdym powtórzeniu tej operacji z figury zostają usunięte pewne punkty. Punkty, które nie zostaną usunięte, tworzą trójkąt Sierpińskiego[2].
Fraktal ten można także utworzyć z trójkąta Pascala, zabarwiając na czarno jego nieparzyste liczby[3].
Definicja formalna
[edytuj | edytuj kod]![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/74/Animated_construction_of_Sierpinski_Triangle.gif/200px-Animated_construction_of_Sierpinski_Triangle.gif)
Niech będzie trójkątem ABC.
- Dzieląc na cztery mniejsze trójkąty i gdzie środki krawędzi są wierzchołkami trójkąta traktując jako zbiór otwarty, a trójkąty za zbiory domknięte, otrzymuje się zbiory rozłączne: i Środki krawędzi leżą w dwóch małych trójkątach (np. zawiera dokładnie jeden punkt – środek odpowiedniej krawędzi).
- Każdy trójkąt dzieli się na cztery mniejsze trójkąty i w podobny sposób.
- Każdy trójkąt dzieli się na cztery mniejsze trójkąty i i tak dalej.
Trójkąt Sierpińskiego zawiera dokładnie te punkty trójkąta ABC, które nie są elementami zbioru
tj. Trójkąt Sierpińskiego jest zbiorem domkniętym jako różnica zbioru domkniętego i zbioru otwartego Trójkąt Sierpińskiego jest zbiorem domkniętym, Wymiar fraktalny trójkąta Sierpińskiego wynosi
Reprezentacja cyfrowa
[edytuj | edytuj kod]Każdy ciąg , gdzie , określa punkt trójkąta Sierpińskiego, a mianowicie jedyny punkt w zbiorze Odwrotnie, dla każdego punktu można znaleźć taki ciąg określający ten punkt, tzw. reprezentację cyfrową punktu Podobnie jak w przypadku liczb rzeczywistych, nie każdy punkt trójkąta Sierpińskiego ma jednoznaczną reprezentację. Na przykład (jedyny) punkt w przekroju ma reprezentację i jednocześnie reprezentację
Trójkąt Sierpińskiego jako rezultat Gry w chaos
[edytuj | edytuj kod]Ciekawym algorytmem pozwalającym otrzymać trójkąt Sierpińskiego jest gra w chaos. Narysujmy trójkąt równoboczny ABC i definiujmy D0 := punkt A. Następnie należy wielokrotnie powtórzyć następującą operację: losowo wybieramy jeden z punktów A, B lub C, rysujemy punkt w połowie odległości między Dn i wybranym punktem. Nowo narysowany punkt oznaczamy przez Dn+1. Każdy punkt Dn będzie należeć do trójkąta Sierpińskiego, i cały trójkąt Sierpińskiego będzie prawie na pewno domknięciem zbioru {D0, D1,...}.
Jeśli wybieramy D0 nie jako punkt A, lecz jako dowolny punkt trójkąta Sierpińskiego, to znowu otrzymujemy (prawie na pewno) trójkąt Sierpińskiego. Jeśli D0 należy do trójkąta ABC, ale nie do trójkąta Sierpińskiego, to żaden punkt Dn do tego trójkąta nie należy, jednak otrzymujemy ten trójkąt (prawie na pewno) jako zbiór punktów skupienia ciągu (D0, D1,...).
Jeśli punkty A, B i C tworzą dowolny (nierównoboczny) trójkąt, to tą samą konstrukcją otrzymujemy zniekształcony trójkąt Sierpińskiego, tzn. obraz trójkąta Sierpińskiego przez przekształcenie afiniczne.
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ W. Sierpinski, Sur une courbe dont tout point est un point de ramification, „C. R. Acad. Sci. Paris” 160 (1915): 302-305.
- ↑ Sierpińskiego dywan, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-09-15] .
- ↑ Classroom Resources - National Council of Teachers of Mathematics [online], org/workshops/usi/pascal/pascal_sierpinski.html [dostęp 2024-04-26] (ang.).
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Polskojęzyczne
- Łukasz Rajkowski , Trójkąt Sierpińskiego w trójkącie Pascala, [w:] pismo „Delta”, deltami.edu.pl, marzec 2022, ISSN 0137-3005 [dostęp 2022-03-15] (pol.).
- Trójkąt Sierpińskiego. chamicewicz.com. [zarchiwizowane z tego adresu (2016-03-18)]. Wersja interaktywna wraz z kodem źródłowym (Processing)
- Trójkąt Sierpińskiego. krzywicki.pro. [zarchiwizowane z tego adresu (2014-08-08)]. Dynamiczny generator fraktalu
- Anglojęzyczne
- Eric W. Weisstein , Sierpiński Sieve, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
Sierpiński gasket (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].
Grant Sanderson, Binary, Hanoi and Sierpinski, kanał 3blue1brown na YouTube, 25 listopada 2016 [dostęp 2021-03-15].