Constante Omega
A constante ômega é uma constante matemática definida como o único número real que satisfaz a equação
Onde Ω é o valor de W(1), e W é a função W de Lambert . O nome é ômega vem da alternativa para a função W de Lambert, chamada também de função ômega . O valor numérico de Ω é dado por
- Ω = 0.567143290409783872999968662210...
- 1/Ω = 1.763222834351896710225201776951...
Propriedades
[editar | editar código-fonte]Representação de ponto fixo
[editar | editar código-fonte]A identidade definidora pode ser expressa, por exemplo, como
ou
ou
Computação
[editar | editar código-fonte]Pode-se calcular Ω iterativamente, começando com uma estimativa inicial Ω0, e considerando a sequência
Esta sequência irá convergir para Ω conforme n aproxima do infinito. Isso ocorre porque Ω é um ponto fixo atraente da função e−x .
É muito mais eficiente usar a iteração
porque a função
além de ter o mesmo ponto fixo, também tem uma derivada que aí desaparece. Isso garante convergência quadrática; ou seja, o número de dígitos corretos é praticamente duplicado a cada iteração.
Usando o método de Halley, Ω pode ser aproximado com convergência cúbica (o número de dígitos corretos é aproximadamente triplicado com cada iteração): (ver também Lambert W function § Numerical evaluation ).
Representações integrais
[editar | editar código-fonte]Uma identidade devida a Victor Adamchik é dada pela relação
Outras relações devidas a I. Mező são[1][2]
As duas últimas identidades podem ser estendidas a outros valores da W (ver também a Lambert W function § Representations ).
Transcendência
[editar | editar código-fonte]A constante Ω é transcendental . Isso pode ser visto como uma consequência direta do teorema de Lindemann-Weierstrass . Para uma contradição, suponha que Ω seja algébrico. Pelo teorema, e−Ω é transcendental, mas Ω = e−Ω, o que é uma contradição. Portanto, deve ser transcendental.
Referências
- ↑ István, Mező. «An integral representation for the principal branch of Lambert the W function». Consultado em 7 de novembro de 2017. Cópia arquivada em 28 de dezembro de 2016
- ↑ Mező, István (2020). «An integral representation for the Lambert W function». arXiv:2012.02480
.
Ligações externas
[editar | editar código-fonte]- Weisstein, Eric W. «Omega Constant». MathWorld (em inglês)
- «Omega constant (1,000,000 digits)», Darkside communication group (in Japan), consultado em 25 de dezembro de 2017