Curvatura
Em matemática, uma curvatura é qualquer um de uma série de conceitos vagamente relacionadas em diferentes áreas da geometria. Intuitivamente, curvatura é a quantidade na qual um objeto geométrico se desvia do plano, ou reto no caso de uma linha, mas esta é definida de diferentes formas, dependendo do contexto. Há uma diferença fundamental entre a curvatura extrínseca, que é definida para objetos incorporados em outro espaço (geralmente um espaço euclidiano) de um modo que se relaciona com o raio de curvatura de círculos que tocam o objeto, e curvatura intrínseca, que é definida em cada ponto de uma variedade de Riemann. Este artigo lida principalmente com o primeiro conceito.
O exemplo clássico de curvatura extrínseca é a de um círculo, que em todos os lugares tem curvatura igual ao inverso do seu raio. Círculos menores dobram-se mais acentuadamente, e, portanto, têm maior curvatura. A curvatura de uma curva suave é definida como a curvatura do seu círculo osculador em cada ponto.
Mais vulgarmente isto é uma quantidade escalar, mas pode-se também definir um vetor de curvatura que leva em conta a direção da dobra, bem como a sua nitidez. A curvatura de objetos mais complexos (tais como superfícies ou até mesmo curvas n-dimensionais de espaços) é descrita por mais objetos complexos de álgebra linear, tais como o tensor de curvatura geral de Riemann.
História
[editar | editar código-fonte]A curvatura de uma curva diferenciável foi originalmente definida através de círculos osculantes . Nesse cenário, Augustin-Louis Cauchy mostrou que o centro da curvatura é o ponto de interseção de duas linhas normais infinitamente próximas da curva.[1]
Geometria diferencial
[editar | editar código-fonte]![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7a/Curvaturas.png)
Seja C o gráfico de uma função vetorial, no espaço bi ou tridimensional, parametrizada em função do comprimento de arco. A ideia de curvatura está ligada à variação do vetor tangente com respeito ao comprimento de arco s. O vetor tangente T varia somente em direção, visto que tem comprimento constante de norma unitária. Se C for uma reta, a direção de T permanece constante e dizemos então que tem curvatura nula. Note também que um círculo terá curvatura constante, já que o raio da curvatura do círculo é constante.
Se C for uma curva lisa no espaço bi ou tridimensional parametrizada pelo comprimento do arco, então a curvatura de C, é uma função escalar denotada por (onde κ é a letra grega kappa) e é definida por:
Observe que é uma função real de s, uma vez que é o comprimento de que mede a curvatura.
Temos que é paralelo ao vetor normal [2], ou seja
, onde
![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/01/FrenetTN.svg/470px-FrenetTN.svg.png)
Fórmulas Frenet – Serret para curvas planas
[editar | editar código-fonte]A expressão da curvatura Em termos de parametrização no comprimento do arco, é essencialmente a primeira fórmula de Frenet – Serret:
onde os primos se referem às derivadas em relação ao comprimento do arco s, e N(s) é o vetor unitário normal na direção de T'(s) .
Como as curvas planares têm torção zero, a segunda fórmula de Frenet-Serret fornece a relação
Para uma parametrização geral por um parâmetro t, é necessário expressões envolvendo derivadas em relação a t . Como estes são obtidos pela multiplicação por dos derivados em relação a s, é necessário, para qualquer parametrização adequada
![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4b/Curvatura_PQR.png/336px-Curvatura_PQR.png)
A curvatura em termos de um parâmetro qualquer t
[editar | editar código-fonte]Seja uma função vetorial lisa no espaço bi ou tridimensional. A curvatura pode ser determinada por[3]:
A representação de limite para a curvatura de uma curva no seu ponto é , onde é o comprimento da curva entre o ponto e um ponto , também na curva, de modo que a distância entre P e Q tenda a 0. é o ângulo de giro da tangente da curva, entre o ponto P e Q.
Interpretação da curva no espaço bidimensional:
A curvatura no espaço bidimensional pode ser interpretada como a magnitude da taxa de variação do ângulo (medido no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo até o vetor tangente unitário) com relação à posição s. Quanto maior for a curvatura, mais rápido varia o ângulo em relação a s. No caso de uma reta, o ângulo é constante e, consequentemente, a curvatura é nula.
Curvas de espaço
[editar | editar código-fonte]![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/68/Torus-Knot_uebereinander_animated.gif/220px-Torus-Knot_uebereinander_animated.gif)
Como no caso de curvas em duas dimensões, a curvatura de uma curva espacial regular C em três dimensões (e superior) é a magnitude da aceleração de uma partícula que se move com a velocidade unitária ao longo de uma curva. Assim, se γ(s) é a parametrização de C comprimento do arco, o vetor tangencial unitário T(s) é dado por
e a curvatura é a magnitude da aceleração:
A direção da aceleração é o vetor normal de unidade N(s), definido por
O plano que contém os dois vetores T(s) e N(s) é o plano osculador da curva em γ(s) . A curvatura tem a seguinte interpretação geométrica. Existe um círculo no plano osculador tangente a γ(s) cuja série de Taylor para segunda ordem no ponto de contato concorda com a de γ(s) . Este é o círculo de curvatura para a curva. O raio do círculo R(s) é chamado raio de curvatura e a curvatura é recíproca do raio de curvatura:
A tangente, a curvatura e o vetor normal juntos descrevem o comportamento de segunda ordem de uma curva perto de um ponto. Em três dimensões, o comportamento de terceira ordem de uma curva é descrito por uma noção relacionada de torção, que mede a extensão em que uma curva tende a se mover em um caminho helicoidal no espaço. A torção e a curvatura são relacionadas pelo Triedro de Frenet (em três dimensões) e sua generalização (em dimensões mais altas).
![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/84/Osculating_circle.svg/168px-Osculating_circle.svg.png)
Raio de Curvatura
[editar | editar código-fonte]Em geral, se uma curva C no espaço bidimensional tem curvatura não nula no ponto P, então o círculo de raio que tangencia a curva C no ponto P e centro no lado côncavo da curva em P é chamado de círculo de curvatura ou círculo osculador em P. Nesse ponto P, além de o círculo e a curva se tangenciarem, ambos têm a mesma curvatura. O círculo de curvatura em P é o círculo que melhor aproxima a curva C na vizinhança de P[3].
Curvatura na física
[editar | editar código-fonte]![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png)
![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/22/Spacetime_curvature.png/263px-Spacetime_curvature.png)
A Relatividade geral prevê que um corpo de grande massa pode alterar a geometria do espaço-tempo, tornando-o curvo. Essa curvatura do espaço-tempo quadridimensional altera a trajetória dos corpos que passem em torno de si, como a deflexão da luz, que tem seus feixes arqueados para dentro pelo campo gravítico do corpo. Nesse espaço-tempo a geodésica entre dois observadores não é a reta.
Ver também
[editar | editar código-fonte]- Dioptria
- Raio de curvatura
- Torção de uma curva
- Triedro de Frenet
- Aplicação de Gauss
- Evoluta
- Círculo de curvatura
Referências
- ↑ Borovik, Alexandre; Katz, Mikhail G. (2011), «Who gave you the Cauchy–Weierstrass tale? The dual history of rigorous calculus», Foundations of Science, 17 (3): 245–276, Bibcode:2011arXiv1108.2885B, arXiv:1108.2885
, doi:10.1007/s10699-011-9235-x
- ↑ SAUTER, Esequia; SOUTO DE AZEVEDO, Fabio; ALMEIDA KONZEN, Pedro Henrique (2018). Cálculo Vetorial - Um Livro Colaborativo. Porto Alegre: [s.n.] p. 11
- ↑ a b ANTON, Howard (2014). Cálculo. Porto Alegre: Bookman. p. 877. ISBN 9788582602454
17, Mikhail G.; Alexandre (2011). Who gave you the Cauchy–Weierstrass tale? The dual history of rigorous calculus. [S.l.: s.n.] pp. 245–276
Notas
[editar | editar código-fonte]- Coolidge. «The Unsatisfactory Story of Curvature». American Mathematical Monthly. 59: 375–379. JSTOR 2306807. doi:10.2307/2306807
- Sokolov, D. D. (2001), «Curvature», in: Hazewinkel, Michiel, Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer
- Kline, Morris (1998). Calculus: An Intuitive and Physical Approach. Dover. [S.l.: s.n.] pp. 457–461. ISBN 978-0-486-40453-0 (restricted online copy no Google Livros)
- Klaf, A. Albert (1956). Calculus Refresher. Dover. [S.l.: s.n.] pp. 151–168. ISBN 978-0-486-20370-6 (restricted online copy no Google Livros)
- Casey, James (1996). Exploring Curvature. Vieweg+Teubner. [S.l.: s.n.] ISBN 978-3-528-06475-4