Reticulado
Aspeto
![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Disambig_grey.svg/20px-Disambig_grey.svg.png)
![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b2/Lattice_of_partitions_of_an_order_4_set.svg/220px-Lattice_of_partitions_of_an_order_4_set.svg.png)
Em matemática, especialmente na teoria da ordem e em álgebra, um reticulado é uma estrutura L = (L, R) tal que L é parcialmente ordenado por R e para cada dois elementos a, b de L existe supremo (menor limite superior) e ínfimo (maior limite inferior) de {a,b}.
Reticulados como estruturas algébricas
[editar | editar código-fonte]De maneira equivalente, um reticulado pode ser definido como uma estrutura algébrica. Uma estrutura algébrica (L, ), consistindo de um conjunto L e duas operações , e , sobre L é um reticulado se para todos os elementos a, b, c de L valem as seguintes equações, que podem ser vistas como axiomas da teoria dos reticulados.
|
|
As identidades seguintes as vezes também são vistas como axiomas, apesar de poder ser facilmente deduzidas usando as duas leis de absorção.[1]
Exemplos
[editar | editar código-fonte]- Seja um conjunto não vazio e o conjunto potência ou conjunto das partes de . Além disso, seja a relação de inclusão de conjuntos. Então é um reticulado no qual o supremo está representado pela união de conjuntos e o ínfimo pela interseção.
- Seja um conjunto totalmente ordenado, isto é, é uma relação de ordem total. O supremo de dois elementos é o maior deles e o ínfimo é o menor.
Semirreticulados
[editar | editar código-fonte]- Um semirreticulado superior é um conjunto parcialmente ordenado em que existe supremo para quaisquer dois elementos a,b.
- Um semirreticulado inferior é um conjunto parcialmente ordenado em que existe ínfimo para quaisquer dois elementos a,b.
Referências
- ↑ , and dually for the other idempotent law. Dedekind, Richard (1897), «Ueber Zerlegungen von Zahlen durch ihre grössten gemeinsamen Teiler», Braunschweiger Festschrift: 1–40.
Bibliografia
[editar | editar código-fonte]- BIRKHOFF, Garrett (1948). Lattice Theory (em inglês). New York: American Mathematical Society
- DAVEY, B.A.; PRIESTLEY, H.A (2002). Introduction to Lattices and Order (em inglês) 2nd. ed. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78451-1
- ROMAN, Steven (2008). Lattices and Ordered Sets (em inglês). New York: Springer. ISBN 978-0-387-78900-2