Bisectoare
![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/14/Bisection_construction.gif)
Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea în vârful unghiului, care împarte acest unghi în alte două unghiuri de măsuri egale.
Proprietăți
[modificare | modificare sursă]- Orice punct de pe bisectoare se află la egală distanță de laturile unghiului, proprietate pe baza definiției bisectoarei;
Concurența bisectoarelor unui triunghi
[modificare | modificare sursă]- În orice triunghi bisectoarele sunt concurente (conform reciprocei teoremei lui Ceva) în centrul cercului înscris triunghiului.
Alte proprietăți
[modificare | modificare sursă]- În orice triunghi bisectoarea unui unghi împarte latura opusă unghiului în segmente de lungimi cu un anumit raport conform teoremei bisectoarei;
- În orice romb, diagonalele sunt și bisectoare.
Lungimea bisectoarelor unui triunghi
[modificare | modificare sursă]![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d1/Triangle_ABC_with_bisector_AD.svg/240px-Triangle_ABC_with_bisector_AD.svg.png)
Lungimea a unei bisectoare a unui triunghi în funcție de laturile unghiului bisecționat b, c și cosinusul măsurii A/2 a acestui semiunghi e:[1]
Egalitatea se poate obține dintr-o egalitate de arii a triunghiului ABC cu cele ale triunghiurilor determinate de bisectoarea unghiului A pe latura opusă.[2]
Dacă bisectoarea internă a unghiului A în orice triunghi ABC cu lungimea divide latura opusă unghiului in segmente de lungimi m și n, atunci[3]
unde b, c sunt laturi opuse vârfurilor B și C; iar latura a opusă lui A e împărțită în raportul b:c = m:n.
Egalitatea se obține folosind teorema lui Stewart și teorema bisectoarei. Din expresia teoremei bisectoarei sau se obține o egalitate de produse de lungimi sau , care se substituie în expresia teoremei lui Stewart
Partea dreaptă a egalității din teorema lui Stewart devine după substituire:
Pentru substituire este necesară și exprimarea sumei lungimilor laturilor b și c tot pe baza teoremei bisectoarei.
După substituire
Egalizarea cu partea stângă dă:
Lungimea laturii a apărând în ambii membri ai egalității aceasta se împarte cu a rezultând egalitatea enunțată.
Dacă bisectoarele interne ale unghiurilor A, B, and C au lungimile and , atunci[4]
Ecuații în geometria analitică
[modificare | modificare sursă]În plan
[modificare | modificare sursă]În geometria analitică se pot scrie ecuațiile celor două bisectoare (internă și externă, perpendiculare între ele) ale unghiului determinat de două drepte de ecuații carteziene:
Ecuațiile celor două bisectoare sunt:
În spațiu
[modificare | modificare sursă]Se consideră dreptele de ecuații:
Atunci ecuațiile parametrice ale bisectoarelor unghiului determinat de acestea sunt:
unde:
În geometria triunghiului
[modificare | modificare sursă]Se consideră triunghiul ABC, dat prin coordonatele vârfurilor: și cu lungimile laturilor a, b, c. Atunci ecuațiile bisectoarelor vârfului A sunt:
unde semnele și se referă la bisectoarea exterioară, respectiv interioară, corespunzătoare unghiului A.
Ecuații similare se obțin și pentru bisectoarele unghiurilor B și C.
Note
[modificare | modificare sursă]- ^ Oxman, Victor. "On the existence of triangles with given lengths of one side and two adjacent angle bisectors", Forum Geometricorum 4, 2004, 215–218. http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200425.pdf Arhivat în , la Wayback Machine.
- ^ Nicolae N. Mihăileanu, Lecții complementare de geometrie, (1976), p.10
- ^ Johnson, p.70
- ^ Simons, Stuart. Mathematical Gazette 93, March 2009, 115-116.