SO(8)
Перейти к навигации
Перейти к поиску
SO(8) — специальная ортогональная группа восьмимерного евклидова пространства.
Свойства
[править | править код]- SO(8) — вещественная простая группа Ли ранга 4 и размерности 28.
- SO(8), как и все специальные ортогональные группы при , неодносвязна, и её фундаментальная группа изоморфна Z2.
- универсальное накрытие SO(8) — спинорная группа Spin(8).
- центр SO(8) изоморфен Z2, он включает две матрицы {±I} (как и для SO(n) при 2n > 2).
- Центр Spin(8) изоморфен Z2×Z2 (как и для всех Spin(4n), 4n > 0).
![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/59/Dynkin_diagram_D4.png)
- SO(8) занимает особое место среди простых групп Ли, поскольку её диаграмма Дынкина (смотри рисунок) (D4) имеет трёхкратные симметрии. В этом причина особенного свойства Spin(8), известного как тройственность. С этим связаны, например, такие факты:
- Два спинорных представления, а также фундаментальное векторное представление Spin(8) — восьмимерные (для всех других Spin-групп спинорные представления имеет размерность либо большую, либо меньшую, чем векторное).
- Тройственный автоморфизм Spin(8) — группа внешних автоморфизмов Spin(8) изоморфна симметрической группы S3, она переставляет эти три представления.
- Группа автоморфизмов действует на центре Z2 х Z2 (который также имеет группу автоморфизмов, изоморфную S3, которые могут также рассматриваться как общая линейная группа над конечным полем из двух элементов, S3 ≅GL(2,2)).
- Группа Вейля SO(8) имеет 4!×8=192 элементов.
- Система корней SO(8):
- Матрица Картана SO(8):
Вариации и обобщения
[править | править код]Иногда Spin(8) появляется естественно в «расширенном» виде, в качестве группы автоморфизмов Spin(8), которая представляется как полупрямое произведение: Aut((Spin(8)) ≅ Spin(8) ⋊ S3.
См. также
[править | править код]Ссылки
[править | править код]- Adams, J.F. (1996), Lectures on exceptional Lie groups, Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press, ISBN 0-226-00526-7
- Chevalley, Claude (1997), The algebraic theory of spinors and Clifford algebras, Collected works, vol. 2, Springer-Verlag, ISBN 3-540-57063-2 (originally published in 1954 by Columbia University Press)
- Porteous, Ian R. (1995), Clifford algebras and the classical groups, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 50, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55177-3
{{citation}}
: Указан более чем один параметр|ISBN=
and|isbn=
(справка)