Kombinačné číslo
Kombinačné číslo (iné názvy: binomické číslo, binomický koeficient)[1] je matematická funkcia, ktorá udáva počet kombinácií k-tej triedy z n-prvkovej množiny, tzn. počet spôsobov, ako vybrať k-prvkovú podmnožinu z n-prvkovej množiny (k a n sú prirodzené čísla). Kombinačné číslo sa značí v tvare a číta sa „n nad k“. Alternatívne značenia sú , , alebo .[2][3]
S využitím faktoriálu je možné kombinačné číslo definovať nasledovne:[3]
Platí rovnosť:[2]
Kombinačné číslo sa používa hlavne v kombinatorike, veľmi dôležité je využitie v binomickej vete (pričom je tu označované ako binomický koeficient) alebo v Leibnizovom pravidle.
Vlastnosti
[upraviť | upraviť zdroj]Pre prirodzené čísla n a k, kde a platí[2][3]
Zovšeobecnenie kombinačných čísel
[upraviť | upraviť zdroj]Ak definujeme kombinačné číslo ako:[3]
kde k je nezáporné celé číslo (a je k-ty klesajúci faktoriál zo z), potom je zrejmé, že pravá strana má zmysel, aj keď nebude obmedzené na celé nezáporné čísla. Na dokonca nemusíme klásť žiadne podmienky, môže ísť aj o číslo komplexné. Vzťah je teda prirodzeným zovšeobecnením kombinačných čísel a je používaný hlavne v zovšeobecnenej binomickej vete.
Ďalšiu možnú definíciu umožňuje náhrada faktoriálu gama funkciou:
kde z aj k môžu byť komplexné čísla. V takom prípade však nebudú platiť popísané vlastnosti kombinačných čísel pre všetky hodnoty.
Referencie
[upraviť | upraviť zdroj]- ↑ kombinačné číslo. In: Encyclopaedia Beliana [online]. Bratislava: Slovenská akadémia vied, [cit. 2021-11-07]. Dostupné online.
- ↑ a b c ŠKOVIERA, Martin. Úvod do diskrétnej matematiky. Bratislava : FMFI UK, 2007. 30 s. Dostupné online. S. 14 – 19.
- ↑ a b c d WINCZER, Michal. Diskrétna matematika. Bratislava : FMFI UK, 2003. Dostupné online. Kapitola 8. Kombinatorické počítanie.
Pozri aj
[upraviť | upraviť zdroj]Iné projekty
[upraviť | upraviť zdroj]Commons ponúka multimediálne súbory na tému Kombinačné číslo
Externé odkazy
[upraviť | upraviť zdroj]- Kombinačné číslo v encyklopédii MathWorld (po anglicky)
- Kalkulátor kombinačného čísla (po česky)
Zdroj
[upraviť | upraviť zdroj]Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Kombinační číslo na českej Wikipédii.