「
开方」重定向至此。关于古代人物,请见「
衛開方」。
在数学中,一數
為数
的
次方根,則
。在提及实数
的
次方根的时候,若指的是此数的主
次方根,則可以用根号(
)表示成
。例如:1024的主10次方根为2,就可以记作
。當
時,則
可以省略。定义实数
的主
次方根为
的
次方根,且具有与
相同的正负号的唯一实数
。在
是偶数時,负数没有主
次方根。习惯上,将2次方根叫做平方根,将3次方根叫做立方根。
方根也是幂的分数指数,即數
為数
的
次方:
![{\displaystyle b={\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19cba550de4bc98864d27d841e706c860a5f0134)
最早的根号“√”源于字母「r」的变形(出自拉丁语latus的首字母,表示“边长”),没有线括号(即被开方数上的横线),后来数学家笛卡尔给其加上线括号,但与前面的方根符号是分开的,因此在复杂的式子显得很乱。直至18世纪中叶,数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成,并将根指数写在根号的左上角,以表示高次方根(当根指数为2时,省略不写。)。形成了现在所熟悉的开方运算符号
。
考慮在计算机中的输入问题,有时也可以使用sqrt(a,b)来表示a的b次方根。
带有根号的运算可由如下公式推導而得:
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\qquad a\geq 0,b\geq 0}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42115473722e787897c604bed704f3e90a259505)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\qquad a\geq 0,b>0}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ee57799587b579cf8415b960cda2937d540e845)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}=\left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{m}=a^{\frac {m}{n}},}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc11ef71f42b5d04e3b2d8874c4ccdcb9e35d5ca)
这裡的a和b是正数。
对于所有的非零复数
,有
个不同的复数
使得
,所以符号
就會出現歧义(通常這樣寫是取
個值當中主幅角最小的)。
次单位根是特别重要的。
当一个数从根号形式变换到幂形式,幂的规则仍适用(即使对分数幂),也就是
![{\displaystyle a^{m}a^{n}=a^{m+n}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bf438628772ad772c4938461795811a9db28bd8)
![{\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{m}={\frac {a^{m}}{b^{m}}}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9233d0188657506368092970f038ef63ae03f23)
![{\displaystyle \left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/333533d4020699d24324fed24a40cc027f726843)
例如:
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{a^{5}}}{\sqrt[{5}]{a^{4}}}=a^{\frac {5}{3}}a^{\frac {4}{5}}=a^{{\frac {5}{3}}+{\frac {4}{5}}}=a^{\frac {37}{15}}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/892d38375869d6b442afca1b64b8945b797a6344)
若要做加法或减法,需考慮下列的概念。
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{a^{5}}}={\sqrt[{3}]{aaaaa}}={\sqrt[{3}]{a^{3}a^{2}}}=a{\sqrt[{3}]{a^{2}}}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4659d635deec0af59a8b22f140dedce969541f0)
若已可以简化根式表示式,则加法和减法就只是群的“同类项”问题。
例如
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{a^{5}}}+{\sqrt[{3}]{a^{8}}}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5be258ffaf6be8b6ad28ae3eda5ebcf7560a747b)
![{\displaystyle ={\sqrt[{3}]{a^{3}a^{2}}}+{\sqrt[{3}]{a^{6}a^{2}}}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f2be132eb543f356f4d32c4d396d37cb4e63c72)
![{\displaystyle =a{\sqrt[{3}]{a^{2}}}+a^{2}{\sqrt[{3}]{a^{2}}}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b94ad48474e6d8add3f10e2d1f044b28e1f3fa13)
![{\displaystyle =({a+a^{2}}){\sqrt[{3}]{a^{2}}}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eb0d86b9cdf15d58dd225575188df89b60943aa)
未經化簡的根數,一般叫做“不尽根数”(surd),可以处理为更简单的形式。
如下恒等式是處理不尽根数的基本技巧:
![{\displaystyle {\sqrt {a^{2}b}}=abs(a){\sqrt {b}}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/568fd24018d0c7b94e56631a0bf38648474b38c3)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}b}}=a^{\frac {m}{n}}{\sqrt[{n}]{b}}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1be205444236d9285236312c82e0cc3e93c49deb)
![{\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43a6fe99883dd2ee2bda43eab716e18d9bece3a9)
![{\displaystyle \left({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}\right)^{-1}={\frac {1}{({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})}}={\frac {{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}{({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})}}={\frac {{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}{a-b}}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a899046e5eb292877ba4ecdf12da6c8dd9c8fbe4)
方根可以表示为无穷级数:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(1+x)^{\frac {s}{t}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(s+t-kt)}{(s+t)n!t^{n}}}x^{n}\\&(|x|<1)\end{aligned}}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cc3530383862afc3effd32b23ca55c1243d892e)
任何数的所有的根,实数或复数的,可以通过简单的算法找到。这个数应当首先被写为如下形式
(参见欧拉公式)。接着所有的n次方根给出为:
![{\displaystyle e^{({\frac {\varphi +2k\pi }{n}})i}\times {\sqrt[{n}]{a}}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b85a6077d8b3c1b3c98317eecb0ce47a926a4549)
对于
,这裡的
表示
的主
次方根。
所有
或
的
次方根,这裡的
是正实数,的复数解由如下简单等式给出:
![{\displaystyle e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}\times {\sqrt[{n}]{a}}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7bbf0ec4a058a408d016bc4c013aeabd2d80008)
对于
,这裡的
表示
的主
次方根。
曾经有數學猜想,認為多项式的所有根可以用根号和四則运算来表达;但是阿贝尔-鲁菲尼定理断言了这不是普遍为真的。例如,方程
![{\displaystyle \ x^{5}=x+1}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a816236f9ce5328fa12fe8dc79c10a35e4030dbd)
的解不能用根号表达。
要解任何n次方程,参见求根算法。
對於正數
,可以通過以下算法求得
的值:
- 猜一個
的近似值,將其作為初始值![{\displaystyle x_{0}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf)
- 設
。記誤差為
,即
。
- 重複步驟2,直至絕對誤差足夠小,即:
。
求
之值,亦即求方程
的根。
設
,其導函數即
。
以牛頓法作迭代,便得
![{\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-{\frac {f(x_{k})}{f'(x_{k})}}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30ea5aa9e4b0a39382df25ae50dd18549802007a)
![{\displaystyle =x_{k}-{\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{n-1}}}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a27defaa8b07f41954fbf554ea83266f8066ad5)
![{\displaystyle =x_{k}-{\frac {x_{k}}{n}}+{\frac {A}{nx_{k}^{n-1}}}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a52a515602f4eb054244c39f1cda5a1980ab5dcc)
![{\displaystyle ={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e77213fc47f1c355946993ee6eca67b05f76b594)
設
為迭代值,
為誤差值。
令
(*),作牛頓二項式展開,取首兩項:
調項得
將以上結果代回(*),得遞歸公式